Номер 15.20, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.20. Решите уравнение $\sqrt{6 - \sqrt{6 - x}} = x$.

Исходное уравнение: $\sqrt{6 - \sqrt{6 - x}} = x$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться следующие условия:

а) Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$.

б) Правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

в) Выражение под внешним корнем должно быть неотрицательным: $6 - \sqrt{6 - x} \ge 0$.

Рассмотрим условие в): $6 \ge \sqrt{6 - x}$. Так как обе части неравенства неотрицательны (с учетом $x \ge 0$ и $x \le 6$), можно возвести их в квадрат: $36 \ge 6 - x$, откуда $x \ge 6 - 36$, то есть $x \ge -30$.

Объединяя все условия ($x \le 6$, $x \ge 0$ и $x \ge -30$), получаем ОДЗ для данного уравнения: $0 \le x \le 6$.

2. Решение уравнения

Для решения применим метод введения новой переменной. Пусть $y = \sqrt{6 - x}$. Исходя из определения арифметического корня, $y \ge 0$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде $\sqrt{6 - y} = x$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$:

$\begin{cases} y = \sqrt{6 - x} \\ x = \sqrt{6 - y} \end{cases}$

Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$\begin{cases} y^2 = 6 - x \\ x^2 = 6 - y \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$y^2 - x^2 = (6 - x) - (6 - y)$

$y^2 - x^2 = y - x$

Применим формулу разности квадратов к левой части:

$(y - x)(y + x) = y - x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(y - x)$:

$(y - x)(y + x) - (y - x) = 0$

$(y - x)(y + x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $y - x = 0 \implies y = x$.

Подставим $y = x$ в любое из уравнений системы, например, в $x^2 = 6 - y$:

$x^2 = 6 - x$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$ (и ОДЗ), поэтому он является посторонним.

Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 2 \le 6$). Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt{6 - \sqrt{6 - 2}} = \sqrt{6 - \sqrt{4}} = \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2$.

Правая часть $x=2$. Равенство $2 = 2$ верно. Следовательно, $x = 2$ является корнем уравнения.

Случай 2: $y + x - 1 = 0 \implies y = 1 - x$.

Подставим $y = 1 - x$ в уравнение $x^2 = 6 - y$:

$x^2 = 6 - (1 - x)$

$x^2 = 5 + x$

$x^2 - x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Мы получили два потенциальных корня: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$.

Проверим их на соответствие условиям $x \ge 0$ и $y \ge 0$ (где $y=1-x$).

Для корня $x_3 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$: это значение положительно ($x_3>0$). Найдем соответствующее значение $y$:$y = 1 - x_3 = 1 - \frac{1 + \sqrt{21}}{2} = \frac{2 - 1 - \sqrt{21}}{2} = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$. Так как $\sqrt{21} > \sqrt{1} = 1$, значение $y$ отрицательно. Это противоречит условию $y \ge 0$. Следовательно, $x_3$ — посторонний корень.

Для корня $x_4 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$: Так как $\sqrt{21} > 1$, это значение отрицательно ($x_4<0$). Это противоречит условию $x \ge 0$. Следовательно, $x_4$ — также посторонний корень.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=2$.

Ответ: $2$