Вопросы?, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.

Равносильный переход при решении уравнений — это замена уравнения другим уравнением (или системой/совокупностью уравнений и неравенств), которое имеет в точности то же множество корней, что и исходное. При решении иррациональных уравнений основной метод — избавление от корня путем возведения в степень. Чтобы этот переход был равносильным, необходимо учитывать область определения и знак выражений.

1. Теорема для уравнений вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$

Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $$

Пояснение: Арифметический квадратный корень $\sqrt{f(x)}$ по определению является неотрицательной величиной. Следовательно, для существования решений правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, что задается условием $g(x) \ge 0$. При выполнении этого условия обе части уравнения неотрицательны, и их можно возвести в квадрат. Это приводит к уравнению $f(x) = (g(x))^2$. Условие $f(x) \ge 0$, необходимое для существования корня, в данной системе является избыточным, так как из уравнения $f(x) = (g(x))^2$ следует, что $f(x)$ как квадрат выражения всегда неотрицательно.

Ответ: Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$.

2. Теорема для уравнений вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$

Уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно одной из двух систем (обычно выбирают ту, в которой неравенство проще):

$$ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$

Пояснение: Обе части уравнения по определению неотрицательны, поэтому возведение обеих частей в квадрат является равносильным преобразованием и приводит к уравнению $f(x) = g(x)$. Однако необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ), которая требует, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$. Поскольку из уравнения $f(x) = g(x)$ следует, что если одно из этих условий выполнено, то автоматически выполняется и второе, достаточно включить в систему только одно из этих неравенств.

Ответ: Уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ (или системе с условием $g(x) \ge 0$).

3. Теорема для уравнений с корнем нечетной степени

Уравнение вида $\sqrt[2n+1]{f(x)} = g(x)$, где $n \in \mathbb{N}$, равносильно уравнению:

$$ f(x) = (g(x))^{2n+1} $$

Пояснение: В отличие от корня четной степени, корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения и сам может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль). Поэтому возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием и не требует никаких дополнительных условий.

Аналогично, уравнение $\sqrt[2n+1]{f(x)} = \sqrt[2n+1]{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Ответ: Уравнение $\sqrt[2n+1]{f(x)} = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = (g(x))^{2n+1}$.