Номер 16.7, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.7. Решите неравенство:

1) $(x + 10)\sqrt{x - 4} \leq 0;$

2) $(x + 2)\sqrt{(4 - x)(5 - x)} \geq 0.$

1) $(x+10)\sqrt{x-4} \le 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

Теперь рассмотрим само неравенство. Произведение двух множителей $(x+10)$ и $\sqrt{x-4}$ должно быть меньше или равно нулю.

Множитель $\sqrt{x-4}$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$) в своей области определения.

Рассмотрим знак множителя $(x+10)$ на ОДЗ, то есть при $x \ge 4$.

Если $x \ge 4$, то $x+10 \ge 4+10$, следовательно $x+10 \ge 14$. Это означает, что множитель $(x+10)$ является строго положительным на всей области допустимых значений.

Итак, на ОДЗ мы имеем произведение положительного числа $(x+10)$ и неотрицательного числа $\sqrt{x-4}$. Такое произведение всегда будет неотрицательным, то есть $\ge 0$.

Исходное неравенство $(x+10)\sqrt{x-4} \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда левая часть равна нулю.

$(x+10)\sqrt{x-4} = 0$

Это равенство достигается, когда $\sqrt{x-4} = 0$, что дает $x-4=0$, то есть $x=4$.

Проверим значение $x=4$:

$(4+10)\sqrt{4-4} = 14 \cdot \sqrt{0} = 0$.

Неравенство $0 \le 0$ является верным.

Таким образом, единственное решение неравенства - это точка $x=4$.

Ответ: $\{4\}$.

2) $(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$(4-x)(5-x) \ge 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(4-x)(5-x)=0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y=(x-4)(x-5)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le 4$ или $x \ge 5$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, +\infty)$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: левая часть равна нулю.

$(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} = 0$

Это происходит, если $x+2=0$ или $\sqrt{(4-x)(5-x)}=0$.

Из $\sqrt{(4-x)(5-x)}=0$ следует, что $(4-x)(5-x)=0$, откуда $x=4$ или $x=5$. Оба эти значения принадлежат ОДЗ.

Из $x+2=0$ следует, что $x=-2$. Проверим, входит ли это значение в ОДЗ: $(4-(-2))(5-(-2)) = 6 \cdot 7 = 42 \ge 0$. Значение $x=-2$ принадлежит ОДЗ. При $x=-2$ левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $\ge 0$.

Таким образом, числа $\{-2, 4, 5\}$ являются решениями.

Случай 2: левая часть строго больше нуля.

$(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} > 0$

Поскольку $\sqrt{(4-x)(5-x)} > 0$ на своей области определения (кроме точек, где он равен нулю), для выполнения неравенства необходимо, чтобы и первый множитель был положителен. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x+2 > 0 \\ (4-x)(5-x) > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x > -2 \\ x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty) \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает решение $x \in (-2, 4) \cup (5, +\infty)$.

Теперь объединим решения, полученные в обоих случаях:

$\{-2, 4, 5\} \cup ((-2, 4) \cup (5, +\infty))$

Объединение дает множество: $[-2, 4] \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2, 4] \cup [5, +\infty)$.