Номер 16.6, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.6. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x + 2} > x;$

2) $\sqrt{2x + 14} > x + 3;$

3) $\sqrt{x^2 - 5x - 24} \ge x + 2;$

4) $\sqrt{x^2 + 4x - 5} > x - 3.$

1) $\sqrt{x+2} > x$

Данное иррациональное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Первая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения, так как неотрицательное число (квадратный корень) всегда больше отрицательного.

$\begin{cases} x < 0, \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ x \ge -2 \end{cases} \implies x \in [-2, 0)$.

Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.

$\begin{cases} x \ge 0, \\ x+2 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2-x-2 < 0 \end{cases}$

Для решения квадратного неравенства $x^2-x-2 < 0$ найдем корни уравнения $x^2-x-2=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 2)$.

Пересечение этого интервала с условием $x \ge 0$ дает: $x \in [0, 2)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем итоговый ответ:

$[-2, 0) \cup [0, 2) = [-2, 2)$.

Ответ: $x \in [-2, 2)$.

2) $\sqrt{2x+14} > x+3$

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда правая часть отрицательна:

$\begin{cases} x+3 < 0, \\ 2x+14 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3, \\ 2x \ge -14 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3, \\ x \ge -7 \end{cases} \implies x \in [-7, -3)$.

б) Случай, когда правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} x+3 \ge 0, \\ 2x+14 > (x+3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3, \\ 2x+14 > x^2+6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3, \\ x^2+4x-5 < 0 \end{cases}$

Корни уравнения $x^2+4x-5=0$ это $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$. Неравенство $x^2+4x-5 < 0$ выполняется при $x \in (-5, 1)$.

Пересечение этого интервала с условием $x \ge -3$ дает: $x \in [-3, 1)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем:

$[-7, -3) \cup [-3, 1) = [-7, 1)$.

Ответ: $x \in [-7, 1)$.

3) $\sqrt{x^2-5x-24} \ge x+2$

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда правая часть отрицательна:

$\begin{cases} x+2 < 0, \\ x^2-5x-24 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим $x^2-5x-24 \ge 0$. Корни уравнения $x^2-5x-24=0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [8, \infty)$.

Теперь решим систему: $\begin{cases} x < -2, \\ x \in (-\infty, -3] \cup [8, \infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty, -3]$.

б) Случай, когда правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} x+2 \ge 0, \\ x^2-5x-24 \ge (x+2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2, \\ x^2-5x-24 \ge x^2+4x+4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2, \\ -9x \ge 28 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2, \\ x \le -\frac{28}{9} \end{cases}$

Так как $-\frac{28}{9} \approx -3.11$, а $-2 > -3.11$, у этой системы нет решений.

Объединяя решения обеих систем (решение первой системы и пустое множество), получаем:

$(-\infty, -3] \cup \emptyset = (-\infty, -3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3]$.

4) $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3$

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда правая часть отрицательна:

$\begin{cases} x-3 < 0, \\ x^2+4x-5 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим $x^2+4x-5 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+4x-5=0$ это $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Теперь решим систему: $\begin{cases} x < 3, \\ x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty, -5] \cup [1, 3)$.

б) Случай, когда правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} x-3 \ge 0, \\ x^2+4x-5 > (x-3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3, \\ x^2+4x-5 > x^2-6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3, \\ 10x > 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3, \\ x > 1.4 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $x \ge 3$, или $x \in [3, \infty)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем:

$(-\infty, -5] \cup [1, 3) \cup [3, \infty) = (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.