Номер 16.12, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.12. Решите неравенство:

1) $ \sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} \le 1$;

2) $ 2\sqrt{x} + \sqrt{5-x} > \sqrt{x+21}$.

Решим неравенство $ \sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} \leq 1 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x - 6 \geq 0 \\ x + 10 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 6 \\ x \geq -10 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x \geq 6 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [6; +\infty) $.

Рассмотрим левую часть неравенства на ОДЗ. Так как для любого $x$ из ОДЗ выполняется $ x-6 < x+10 $, а функция $ y=\sqrt{t} $ является строго возрастающей, то $ \sqrt{x-6} < \sqrt{x+10} $.

Следовательно, разность $ \sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} $ всегда является отрицательным числом.

В то же время правая часть неравенства равна 1, то есть является положительным числом. Любое отрицательное число всегда меньше или равно положительному числу 1.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $ [6; +\infty) $.

Решим неравенство $ 2\sqrt{x} + \sqrt{5-x} > \sqrt{x+21} $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x \geq 0 \\ 5 - x \geq 0 \\ x + 21 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 5 \\ x \geq -21 \end{cases} $

Пересечением этих условий является промежуток $ [0; 5] $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [0; 5] $.

2. На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (2\sqrt{x} + \sqrt{5-x})^2 > (\sqrt{x+21})^2 $

$ 4x + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{5-x} + (5-x) > x+21 $

$ 4x + 4\sqrt{x(5-x)} + 5 - x > x + 21 $

3. Приведем подобные слагаемые и уединим член с корнем:

$ 3x + 5 + 4\sqrt{5x-x^2} > x + 21 $

$ 4\sqrt{5x-x^2} > x + 21 - 3x - 5 $

$ 4\sqrt{5x-x^2} > 16 - 2x $

Разделим обе части на 2:

$ 2\sqrt{5x-x^2} > 8 - x $

4. Проанализируем знак правой части $ 8 - x $ на ОДЗ $ x \in [0; 5] $. Поскольку $x \leq 5$, то $ -x \geq -5 $, и $ 8-x \geq 8-5=3 $. Следовательно, правая часть $ 8-x $ всегда положительна на ОДЗ.

Так как обе части полученного неравенства положительны на ОДЗ, мы можем снова возвести их в квадрат:

$ (2\sqrt{5x-x^2})^2 > (8-x)^2 $

$ 4(5x-x^2) > 64 - 16x + x^2 $

$ 20x - 4x^2 > 64 - 16x + x^2 $

5. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$ 0 > 5x^2 - 36x + 64 $

или

$ 5x^2 - 36x + 64 < 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 5x^2 - 36x + 64 = 0 $ с помощью дискриминанта.

$ D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 64 = 1296 - 1280 = 16 = 4^2 $.

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3,2 $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4 $

Парабола $ y = 5x^2 - 36x + 64 $ имеет ветви, направленные вверх ($a=5>0$), поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями. Решение неравенства: $ 3,2 < x < 4 $.

6. Теперь найдем пересечение полученного интервала $ (3,2; 4) $ с ОДЗ $ [0; 5] $:

$ (3,2; 4) \cap [0; 5] = (3,2; 4) $.

Ответ: $ (3,2; 4) $.