Номер 16.9, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.9. Решите неравенство:

1) $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2} < 1;$

2) $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x} < 3;$

3) $\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10} \le \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9};$

4) $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16}{6-x} > 1.$

1) Решим неравенство $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2} < 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, +\infty)$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.
В этом случае мы можем умножить обе части неравенства на $x-2$, сохранив знак неравенства:
$\sqrt{2x-1} < x - 2$.
Поскольку левая часть неотрицательна, правая часть должна быть строго положительна: $x-2 > 0$, что выполняется при $x > 2$.
Возведем обе части в квадрат:
$2x - 1 < (x-2)^2$
$2x - 1 < x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 6x + 5 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=5$.
Решением неравенства $x^2 - 6x + 5 > 0$ является $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$.
Учитывая условие $x > 2$, получаем решение для этого случая: $x \in (5, +\infty)$.

Случай 2: $x - 2 < 0$. С учетом ОДЗ, это интервал $x \in [\frac{1}{2}, 2)$.
На этом интервале знаменатель $x-2$ отрицателен, а числитель $\sqrt{2x-1}$ неотрицателен.
Следовательно, вся дробь $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}$ является неположительной (меньше или равна нулю).
Любое неположительное число меньше 1. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из этого интервала.
Решение для этого случая: $x \in [\frac{1}{2}, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (5, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x} < 3$.

Найдем ОДЗ:
1. $1-4x^2 \ge 0 \implies 4x^2 \le 1 \implies x^2 \le \frac{1}{4} \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
2. $x \ne 0$.
ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x > 0$. С учетом ОДЗ, $x \in (0, \frac{1}{2}]$.
Умножим неравенство на $x$ (знак не меняется):
$1 - \sqrt{1-4x^2} < 3x$
$1 - 3x < \sqrt{1-4x^2}$.
Если $1-3x < 0$ (т.е. $x > \frac{1}{3}$), неравенство верно, так как слева отрицательное число, а справа неотрицательное. Это дает нам интервал $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.
Если $1-3x \ge 0$ (т.е. $x \le \frac{1}{3}$), обе части неотрицательны. С учетом рассматриваемого интервала, $x \in (0, \frac{1}{3}]$. Возводим в квадрат:
$(1-3x)^2 < 1-4x^2$
$1 - 6x + 9x^2 < 1 - 4x^2$
$13x^2 - 6x < 0$
$x(13x - 6) < 0$.
Решением является $x \in (0, \frac{6}{13})$.
Пересекая с $x \in (0, \frac{1}{3}]$, получаем $(0, \frac{1}{3}]$, так как $\frac{1}{3} < \frac{6}{13}$.
Объединяя решения для $x > 0$: $(0, \frac{1}{3}] \cup (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] = (0, \frac{1}{2}]$.

Случай 2: $x < 0$. С учетом ОДЗ, $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.
Умножим неравенство на $x$ (знак меняется на противоположный):
$1 - \sqrt{1-4x^2} > 3x$
$1 - 3x > \sqrt{1-4x^2}$.
При $x < 0$ левая часть $1-3x$ всегда положительна. Можно возвести в квадрат:
$(1-3x)^2 > 1-4x^2$
$1 - 6x + 9x^2 > 1 - 4x^2$
$13x^2 - 6x > 0$
$x(13x-6) > 0$.
Решением является $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{6}{13}, +\infty)$.
Учитывая, что $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$, получаем решение для этого случая: $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.

Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

3) Решим неравенство $\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10} \le \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9}$.

Найдем ОДЗ:
1. $8-2x-x^2 \ge 0 \implies x^2+2x-8 \le 0$. Корни $x^2+2x-8=0$ это $x_1=-4, x_2=2$. Значит, $x \in [-4, 2]$.
2. $x+10 \ne 0 \implies x \ne -10$.
3. $2x+9 \ne 0 \implies x \ne -4.5$.
ОДЗ: $x \in [-4, 2]$.

Перенесем все в левую часть:
$\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10} - \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9} \le 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sqrt{8-2x-x^2} \left( \frac{1}{x+10} - \frac{1}{2x+9} \right) \le 0$
$\sqrt{8-2x-x^2} \left( \frac{2x+9 - (x+10)}{(x+10)(2x+9)} \right) \le 0$
$\sqrt{8-2x-x^2} \cdot \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \le 0$

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\sqrt{8-2x-x^2} = 0$.
Это происходит при $x=-4$ и $x=2$. Эти значения являются решениями неравенства.

Случай 2: $\sqrt{8-2x-x^2} > 0$, что соответствует $x \in (-4, 2)$.
В этом случае множитель $\sqrt{8-2x-x^2}$ положителен, и на него можно разделить, не меняя знака неравенства:
$\frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \le 0$
Для $x \in (-4, 2)$ знаменатели $x+10$ и $2x+9$ всегда положительны. Следовательно, знаменатель дроби $(x+10)(2x+9)$ положителен.
Неравенство сводится к $x-1 \le 0 \implies x \le 1$.
Пересекая с условием $x \in (-4, 2)$, получаем $x \in (-4, 1]$.

Объединяя решения из обоих случаев: $\{ -4, 2 \} \cup (-4, 1] = [-4, 1] \cup \{2\}$.
Ответ: $x \in [-4, 1] \cup \{2\}$.

4) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16}{6-x} > 1$.

Найдем ОДЗ:
1. $x^2-3x-4 \ge 0$. Корни $x^2-3x-4=0$ это $x_1=-1, x_2=4$. Значит, $x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$.
2. $6-x \ne 0 \implies x \ne 6$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6) \cup (6, +\infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $6-x > 0 \implies x < 6$. С учетом ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6)$.
Умножим на $6-x$ (знак не меняется):
$\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16 > 6-x$
$\sqrt{x^2-3x-4} > 2x-10$
Если $2x-10 < 0$ (т.е. $x < 5$), то неравенство выполняется для всех $x$ из области определения, так как слева неотрицательное число, а справа отрицательное. Пересекая $x<5$ с $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6)$, получаем $(-\infty, -1] \cup [4, 5)$.
Если $2x-10 \ge 0$ (т.е. $x \ge 5$), обе части неотрицательны. С учетом рассматриваемого интервала, $x \in [5, 6)$. Возводим в квадрат:
$x^2-3x-4 > (2x-10)^2$
$x^2-3x-4 > 4x^2-40x+100$
$3x^2-37x+104 < 0$
Корни уравнения $3x^2-37x+104=0$ равны $x_1=\frac{37-11}{6}=\frac{13}{3}$ и $x_2=\frac{37+11}{6}=8$.
Решение $3x^2-37x+104 < 0$ есть $x \in (\frac{13}{3}, 8)$.
Пересекая с $x \in [5, 6)$, получаем $[5, 6)$.
Объединяя решения для случая 1: $((-\infty, -1] \cup [4, 5)) \cup [5, 6) = (-\infty, -1] \cup [4, 6)$.

Случай 2: $6-x < 0 \implies x > 6$. С учетом ОДЗ: $x \in (6, +\infty)$.
Умножим на $6-x$ (знак меняется на противоположный):
$\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16 < 6-x$
$\sqrt{x^2-3x-4} < 2x-10$
На интервале $x > 6$ правая часть $2x-10$ положительна. Можно возвести в квадрат:
$x^2-3x-4 < (2x-10)^2$
$3x^2-37x+104 > 0$
Решение этого неравенства $x \in (-\infty, \frac{13}{3}) \cup (8, +\infty)$.
Пересекая с $x \in (6, +\infty)$, получаем $x \in (8, +\infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6) \cup (8, +\infty)$.