Номер 16.3, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.3. Решите неравенство:

1) $x > \sqrt{24 - 5x}$;

2) $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$;

3) $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$;

4) $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3$.

1) $x > \sqrt{24 - 5x}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 24 - 5x \ge 0 \\ x^2 > 24 - 5x \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $24 - 5x \ge 0 \implies -5x \ge -24 \implies x \le \frac{24}{5} \implies x \le 4.8$.

2. $x > 0$.

3. $x^2 > 24 - 5x \implies x^2 + 5x - 24 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8$, $x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 24$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 5x - 24 > 0$ выполняется при $x < -8$ или $x > 3$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств системы:

$ \begin{cases} x \le 4.8 \\ x > 0 \\ x \in (-\infty; -8) \cup (3; +\infty) \end{cases} $

Объединяя условия, получаем $3 < x \le 4.8$.

Ответ: $(3; 4.8]$.

2) $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 7 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \\ 2x + 7 \le (x + 2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$.

2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

3. $2x + 7 \le x^2 + 4x + 4 \implies 0 \le x^2 + 2x - 3$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \le -3$ или $x \ge 1$.

Найдем пересечение решений системы:

$ \begin{cases} x \ge -3.5 \\ x \ge -2 \\ x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \end{cases} $

Из первых двух неравенств следует, что $x \ge -2$. Пересекая это с решением третьего неравенства, получаем $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

3) $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$

Для существования решения левая часть должна быть положительной, так как правая часть неотрицательна. Если $3-x \le 0$, то неравенство не имеет решений. Поэтому неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 3 - x > 0 \\ (3 - x)^2 > (3\sqrt{1 - x^2})^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $1 - x^2 \ge 0 \implies (1 - x)(1 + x) \ge 0 \implies -1 \le x \le 1$.

2. $3 - x > 0 \implies x < 3$.

3. $9 - 6x + x^2 > 9(1 - x^2) \implies 9 - 6x + x^2 > 9 - 9x^2 \implies 10x^2 - 6x > 0 \implies 2x(5x - 3) > 0$.

Корни уравнения $2x(5x - 3) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{5}$.

Ветви параболы $y = 10x^2 - 6x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x < 0$ или $x > \frac{3}{5}$.

Найдем пересечение решений системы:

$ \begin{cases} x \in [-1; 1] \\ x < 3 \\ x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{5}; +\infty) \end{cases} $

Объединение первых двух условий дает $x \in [-1; 1]$. Пересекая этот интервал с решением третьего неравенства, получаем $x \in [-1; 0) \cup (\frac{3}{5}; 1]$.

Ответ: $[-1; 0) \cup (\frac{3}{5}; 1]$.

4) $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 7x - x^2 - 6 \ge 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ 7x - x^2 - 6 < (2x + 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $7x - x^2 - 6 \ge 0 \implies x^2 - 7x + 6 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $1 \le x \le 6$.

2. $2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.

3. $7x - x^2 - 6 < 4x^2 + 12x + 9 \implies 0 < 5x^2 + 5x + 15 \implies x^2 + x + 3 > 0$.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + x + 3 = 0$: $D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 + x + 3$ всегда больше нуля. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных $x$.

Найдем пересечение решений системы:

$ \begin{cases} x \in [1; 6] \\ x > -1.5 \\ x \in (-\infty; +\infty) \end{cases} $

Общим решением является интервал $[1; 6]$.

Ответ: $[1; 6]$.