Номер 16.8, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.8. Решите неравенство:

1) $(x-3)\sqrt{x^2+x-2} \ge 0;$

2) $(x^2-9)\sqrt{16-x^2} \ge 0.$

1) $(x-3)\sqrt{x^2+x-2} \ge 0$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда подкоренное выражение равно нулю. В этом случае все неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$.

$x^2+x-2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1$

Таким образом, $x = -2$ и $x = 1$ являются решениями неравенства.

б) Случай, когда подкоренное выражение строго больше нуля. В этом случае корень из него является положительным числом, и мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства.

$\begin{cases} x^2+x-2 > 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы: $x^2+x-2 > 0$. Корни мы уже нашли: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

Решим второе неравенство системы: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in ((-\infty; -2) \cup (1; \infty)) \cap [3; \infty)$. Пересечением является промежуток $[3; \infty)$.

Объединим решения, полученные в пунктах а) и б):

$\{-2, 1\} \cup [3; \infty)$

Ответ: $x \in \{-2, 1\} \cup [3; \infty)$.

2) $(x^2-9)\sqrt{16-x^2} \ge 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$16 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 16$

$-4 \le x \le 4$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-4; 4]$.

Решение исходного неравенства эквивалентно совокупности двух случаев на ОДЗ:

а) Случай, когда подкоренное выражение равно нулю. Это происходит, когда $16-x^2=0$, то есть при $x=4$ и $x=-4$. В этих точках неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=4$ и $x=-4$ являются решениями.

б) Случай, когда подкоренное выражение строго больше нуля, то есть $16-x^2 > 0$. Это соответствует интервалу $(-4; 4)$. На этом интервале множитель $\sqrt{16-x^2}$ положителен, и неравенство можно на него разделить, сохранив знак:

$x^2-9 \ge 0$

$x^2 \ge 9$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с интервалом, на котором мы его рассматривали, то есть $(-4; 4)$:

$((-\infty; -3] \cup [3; \infty)) \cap (-4; 4) = (-4; -3] \cup [3; 4)$.

Объединим решения, полученные в пунктах а) и б):

$\{-4, 4\} \cup ((-4; -3] \cup [3; 4)) = [-4; -3] \cup [3; 4]$.

Ответ: $x \in [-4; -3] \cup [3; 4]$.