Номер 16.14, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.14. Решите неравенство $\sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x^3+8} < 4$.

Данное неравенство: $ \sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x^3+8} < 4 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$ x^3 + 8 \ge 0 $

Перенесем 8 в правую часть:

$ x^3 \ge -8 $

Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:

$ x \ge \sqrt[3]{-8} $

$ x \ge -2 $

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: $ x \in [-2, +\infty) $.

Рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x^3+8} $. Тогда исходное неравенство можно переписать в виде $ f(x) < 4 $.

Проанализируем монотонность функции $ f(x) $ на её области определения. Она представляет собой сумму двух функций: $ y_1(x) = \sqrt[3]{x-2} $ и $ y_2(x) = \sqrt{x^3+8} $.

Функция $ y_1(x) = \sqrt[3]{x-2} $ является строго возрастающей на всей числовой прямой, так как это кубический корень из линейной возрастающей функции.

Функция $ y_2(x) = \sqrt{x^3+8} $ является композицией двух возрастающих функций: $ u(x) = x^3+8 $ (возрастает на всей числовой прямой) и $ v(u) = \sqrt{u} $ (возрастает на своей области определения $ u \ge 0 $). Следовательно, $ y_2(x) $ также является строго возрастающей на своей области определения $ x \ge -2 $.

Сумма двух строго возрастающих функций есть строго возрастающая функция. Значит, функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей своей области определения $ x \in [-2, +\infty) $.

Для решения неравенства $ f(x) < 4 $ найдем сначала корень уравнения $ f(x) = 4 $. В силу строгой монотонности функции $ f(x) $ это уравнение может иметь не более одного корня. Попробуем найти его подбором, проверяя целые значения из ОДЗ.

Проверим $ x=2 $:

$ f(2) = \sqrt[3]{2-2} + \sqrt{2^3+8} = \sqrt[3]{0} + \sqrt{8+8} = 0 + \sqrt{16} = 4 $.

Таким образом, $ x=2 $ является единственным корнем уравнения $ f(x) = 4 $.

Поскольку функция $ f(x) $ строго возрастает, то для всех значений аргумента, меньших корня, значения функции будут меньше значения в корне. То есть, неравенство $ f(x) < 4 $ равносильно неравенству $ f(x) < f(2) $, что для строго возрастающей функции эквивалентно $ x < 2 $.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge -2 \end{cases} $

Решением этой системы является числовой промежуток $ [-2, 2) $.

Ответ: $ [-2, 2) $.