Номер 16.10, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.10. Решите неравенство:

1) $ (x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > x^2 - 1; $

2) $ \frac{\sqrt{x + 20}}{x} - 1 < 0; $

3) $ \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x - 7} \le \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}; $

4) $ \frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} \le 1. $

1) $(x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > x^2 - 1$

Заметим, что правая часть неравенства раскладывается на множители: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Перепишем неравенство: $(x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > (x - 1)(x + 1)$ Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x + 1)$: $(x + 1)\sqrt{x^2 + 1} - (x - 1)(x + 1) > 0$ $(x + 1)(\sqrt{x^2 + 1} - (x - 1)) > 0$ $(x + 1)(\sqrt{x^2 + 1} - x + 1) > 0$

Рассмотрим второй множитель: $\sqrt{x^2 + 1} - x + 1$. Сравним $\sqrt{x^2 + 1}$ и $x - 1$. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $\sqrt{x^2 + 1} > 0 > x - 1$, следовательно, $\sqrt{x^2 + 1} - x + 1 > 0$. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то обе части $x-1$ и $\sqrt{x^2+1}$ неотрицательны. Можно сравнить их квадраты: $(\sqrt{x^2 + 1})^2 = x^2 + 1$ $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ Сравним $x^2 + 1$ и $x^2 - 2x + 1$. $x^2 + 1 - (x^2 - 2x + 1) = 2x$. При $x \ge 1$, $2x > 0$, значит $x^2 + 1 > x^2 - 2x + 1$, и $\sqrt{x^2 + 1} > x - 1$. Таким образом, выражение $\sqrt{x^2 + 1} - x + 1$ положительно при всех действительных $x$.

Поскольку второй множитель всегда положителен, знак всего произведения зависит только от знака первого множителя $(x + 1)$. Неравенство $(x + 1)(\sqrt{x^2 + 1} - x + 1) > 0$ равносильно неравенству $x + 1 > 0$. Отсюда $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) $\frac{\sqrt{x + 20}}{x} - 1 < 0$

Перенесем 1 в правую часть: $\frac{\sqrt{x + 20}}{x} < 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 20 \ge 0 \Rightarrow x \ge -20$. 2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$. ОДЗ: $x \in [-20; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{\sqrt{x + 20} - x}{x} < 0$ Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль знаменателя: $x = 0$. Нули числителя: $\sqrt{x + 20} - x = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 20} = x$. Для этого уравнения необходимо условие $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $x + 20 = x^2$ $x^2 - x - 20 = 0$ По теореме Виета корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x = 5$.

Отметим на числовой прямой точки $x=-20$ (начало ОДЗ), $x=0$ и $x=5$ и определим знаки выражения $\frac{\sqrt{x + 20} - x}{x}$ на полученных интервалах, входящих в ОДЗ: $[-20; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$.

• При $x \in [-20; 0)$: Возьмем $x = -1$. $\frac{\sqrt{19} - (-1)}{-1} = \frac{\sqrt{19} + 1}{-1} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (0; 5)$: Возьмем $x = 1$. $\frac{\sqrt{21} - 1}{1} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (5; +\infty)$: Возьмем $x = 29$. $\frac{\sqrt{49} - 29}{29} = \frac{7 - 29}{29} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in [-20; 0) \cup (5; +\infty)$.

3) $\frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x - 7} \le \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}$

Найдем ОДЗ: $12 - x - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 \le 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-4; 3]$. Также знаменатели не равны нулю: $2x - 7 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3.5$ и $x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5$. Эти точки не входят в найденный отрезок. ОДЗ: $x \in [-4; 3]$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель: $\sqrt{12 - x - x^2} \left( \frac{1}{2x - 7} - \frac{1}{x - 5} \right) \le 0$ $\sqrt{12 - x - x^2} \left( \frac{(x - 5) - (2x - 7)}{(2x - 7)(x - 5)} \right) \le 0$ $\sqrt{12 - x - x^2} \left( \frac{-x + 2}{(2x - 7)(x - 5)} \right) \le 0$

Рассмотрим два случая: 1. $\sqrt{12 - x - x^2} = 0$. Это происходит при $x = -4$ и $x = 3$. В этих точках неравенство $0 \le 0$ выполняется, значит, они являются решениями. 2. $\sqrt{12 - x - x^2} > 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{12 - x - x^2}$: $\frac{-x + 2}{(2x - 7)(x - 5)} \le 0$ На ОДЗ $x \in [-4; 3]$ имеем: $2x - 7$: $2(-4) - 7 = -15$, $2(3) - 7 = -1$. Значит, $2x-7 < 0$ на всем отрезке. $x - 5$: $(-4) - 5 = -9$, $3 - 5 = -2$. Значит, $x-5 < 0$ на всем отрезке. Тогда знаменатель $(2x - 7)(x - 5)$ всегда положителен на ОДЗ. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя: $-x + 2 \le 0 \Rightarrow 2 \le x \Rightarrow x \ge 2$.

Объединим результаты с учетом ОДЗ: Из случая 1: $x = -4$ и $x = 3$. Из случая 2: $x \ge 2$ и $x \in (-4; 3)$, что дает $x \in [2; 3)$. Общее решение: $\{-4\} \cup [2; 3) \cup \{3\} = \{-4\} \cup [2; 3]$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [2; 3]$.

4) $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} \le 1$

Найдем ОДЗ: 1. $x^2 + x - 6 \ge 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$. 2. $x + 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -3] \cup [2; +\infty)$.

Преобразуем неравенство: $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} - 1 \le 0$ $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13 - (x + 5)}{x + 5} \le 0$ $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8}{x + 5} \le 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$. С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in (-5; -3] \cup [2; +\infty)$. В этом случае неравенство равносильно: $\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8 \le 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 + x - 6} \le -2x - 8$. Для существования решений необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $-2x - 8 \ge 0 \Rightarrow -2x \ge 8 \Rightarrow x \le -4$. Пересекая с условиями этого случая, получаем $x \in (-5; -4]$. На этом промежутке можно возвести обе части в квадрат: $x^2 + x - 6 \le (-2x - 8)^2$ $x^2 + x - 6 \le 4x^2 + 32x + 64$ $3x^2 + 31x + 70 \ge 0$. Корни уравнения $3x^2 + 31x + 70 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -10/3$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -7] \cup [-10/3; +\infty)$. Найдем пересечение этого решения с промежутком $x \in (-5; -4]$: $((-\infty; -7] \cup [-10/3; +\infty)) \cap (-5; -4] = \emptyset$. В этом случае решений нет.

Случай 2: $x + 5 < 0 \Rightarrow x < -5$. С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in (-\infty; -5)$. В этом случае знак неравенства меняется на противоположный: $\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 + x - 6} \ge -2x - 8$. При $x < -5$ правая часть $-2x - 8$ положительна (т.к. $x < -4$), поэтому можно возвести обе части в квадрат: $x^2 + x - 6 \ge 4x^2 + 32x + 64$ $3x^2 + 31x + 70 \le 0$. Решение этого квадратного неравенства: $x \in [-7; -10/3]$. Найдем пересечение этого решения с условием случая $x < -5$: $[-7; -10/3] \cap (-\infty; -5) = [-7; -5)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in [-7; -5)$.