Номер 16.5, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+7} \geq x+1;$

2) $\sqrt{x^2-2x} \geq 4-x;$

3) $\sqrt{x^2+x-2} > x;$

4) $\sqrt{-x^2+6x-5} > 8-2x.$

1) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x+7} \geq x+1$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
Первая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения подкоренного выражения, так как квадратный корень (если существует) всегда неотрицателен.
$\begin{cases} x+1 < 0 \\ x+7 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -1 \\ x \geq -7 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [-7, -1)$.
Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.
$\begin{cases} x+1 \geq 0 \\ x+7 \geq (x+1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -1 \\ x+7 \geq x^2 + 2x + 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -1 \\ 0 \geq x^2 + x - 6 \end{cases}$
Решим квадратное неравенство $x^2 + x - 6 \leq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Так как ветви параболы $y=x^2+x-6$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-3, 2]$.
С учетом условия $x \geq -1$, получаем решение второй системы: $x \in [-1, 2]$.
Объединим решения обеих систем: $[-7, -1) \cup [-1, 2] = [-7, 2]$.
Ответ: $[-7, 2]$.

2) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x^2-2x} \geq 4-x$.
Данное неравенство также равносильно совокупности двух систем:
Первая система (правая часть отрицательна):
$\begin{cases} 4-x < 0 \\ x^2-2x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x(x-2) \geq 0 \end{cases}$
Решением неравенства $x(x-2) \geq 0$ является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
Пересекая это решение с условием $x > 4$, получаем $x \in (4, +\infty)$.
Вторая система (правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} 4-x \geq 0 \\ x^2-2x \geq (4-x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ x^2-2x \geq 16 - 8x + x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ 6x \geq 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ x \geq \frac{16}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ x \geq \frac{8}{3} \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [\frac{8}{3}, 4]$.
Объединим решения обеих систем: $[\frac{8}{3}, 4] \cup (4, +\infty) = [\frac{8}{3}, +\infty)$.
Ответ: $[\frac{8}{3}, +\infty)$.

3) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x^2+x-2} > x$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
Первая система (правая часть отрицательна):
$\begin{cases} x < 0 \\ x^2+x-2 \geq 0 \end{cases}$
Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1 = -2, x_2 = 1$. Решением неравенства $x^2+x-2 \geq 0$ является $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
Пересекая это решение с условием $x < 0$, получаем $x \in (-\infty, -2]$.
Вторая система (правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} x \geq 0 \\ x^2+x-2 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0 \\ x > 2 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in (2, +\infty)$.
Объединим решения обеих систем: $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$.

4) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{-x^2+6x-5} > 8-2x$.
Данное неравенство также равносильно совокупности двух систем:
Первая система (правая часть отрицательна):
$\begin{cases} 8-2x < 0 \\ -x^2+6x-5 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8 < 2x \\ x^2-6x+5 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ (x-1)(x-5) \leq 0 \end{cases}$
Решением неравенства $(x-1)(x-5) \leq 0$ является промежуток $[1, 5]$.
Пересекая это решение с условием $x > 4$, получаем $x \in (4, 5]$.
Вторая система (правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} 8-2x \geq 0 \\ -x^2+6x-5 > (8-2x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ -x^2+6x-5 > 64-32x+4x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ 0 > 5x^2-38x+69 \end{cases}$
Решим неравенство $5x^2-38x+69 < 0$. Найдем корни уравнения $5x^2-38x+69=0$.
Дискриминант $D = (-38)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 69 = 1444 - 1380 = 64$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{38 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{38 \pm 8}{10}$. $x_1 = \frac{30}{10}=3$, $x_2 = \frac{46}{10}=4.6$.
Решением неравенства $5x^2-38x+69 < 0$ является интервал $(3, 4.6)$.
С учетом условия $x \leq 4$, получаем решение второй системы: $x \in (3, 4]$.
Объединим решения обеих систем: $(3, 4] \cup (4, 5] = (3, 5]$.
Ответ: $(3, 5]$.