Номер 16.2, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \ge \sqrt{x^2 + 4x};$

2) $\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}.$

1) $\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \ge \sqrt{x^2 + 4x}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны:

$ \begin{cases} 2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x, \\ x^2 + 4x \ge 0. \end{cases} $

Условие $2x^2 + 6x - 3 \ge 0$ выполняется автоматически, так как левая часть больше или равна правой, которая в свою очередь неотрицательна.

Решим первое неравенство системы:

$2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x$

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 + 4x \ge 0$

$x(x + 4) \ge 0$

Корни уравнения $x(x+4)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x + 4) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общее решение системы:

$((-\infty, -3] \cup [1, \infty)) \cap ((-\infty, -4] \cup [0, \infty))$

Пересекая эти множества на числовой прямой, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$.

2) $\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 3x - 10 < x - 2, \\ x^2 + 3x - 10 \ge 0. \end{cases} $

Условие $x - 2 > 0$ выполняется автоматически, так как правая часть больше левой, которая неотрицательна.

Решим первое неравенство системы:

$x^2 + 3x - 10 < x - 2$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in (-4, 2)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 + 3x - 10 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$(-4, 2) \cap ((-\infty, -5] \cup [2, \infty))$

Множество решений первого неравенства — это интервал $(-4, 2)$. Множество решений второго неравенства — это объединение лучей $(-\infty, -5]$ и $[2, \infty)$. Эти множества не имеют общих точек, так как точка $x=2$ не входит в интервал $(-4, 2)$. Следовательно, пересечение этих множеств пустое.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).