Номер 15.22, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.22. Решите уравнение $\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3.$

Исходное уравнение:

$\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 2 \ge 0 \\ x^2 - x + 1 \ge 0 \\ 4x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x + 1 \ge 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Решим третье неравенство: $4x - 3 \ge 0$.
$4x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{4}$.

Теперь найдем пересечение всех решений. Учитывая, что $\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{-3 + 4.12}{2} \approx 0.56$ и $\frac{3}{4} = 0.75$, получаем, что ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.

2. Преобразуем уравнение. Заметим, что разность подкоренных выражений равна правой части уравнения:
$(x^2 + 3x - 2) - (x^2 - x + 1) = x^2 + 3x - 2 - x^2 + x - 1 = 4x - 3$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Пусть $a = \sqrt{x^2 + 3x - 2}$ и $b = \sqrt{x^2 - x + 1}$.
Тогда $a^2 - b^2 = 4x - 3$.
Исходное уравнение имеет вид $a + b = 4x - 3$.
Таким образом, мы имеем систему:
$\begin{cases} a + b = 4x - 3 \\ a^2 - b^2 = 4x - 3 \end{cases}$

Отсюда следует, что $a+b = a^2 - b^2$, или $a+b = (a-b)(a+b)$.

Так как из ОДЗ $4x - 3 \ge 0$, то $a+b \ge 0$. Если $a+b=0$, то $4x-3=0$, что дает $x=3/4$. Подстановка в исходное уравнение показывает, что $x=3/4$ не является корнем: $\frac{\sqrt{13}}{2} \ne 0$.
Следовательно, $a+b \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения $a+b = (a-b)(a+b)$ на $a+b$.
Получаем: $1 = a - b$.

3. Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1} = 1$.

Теперь решим систему из исходного уравнения и полученного:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3 \\ \sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1} = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$2\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 4x - 3 + 1$
$2\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 4x - 2$
$\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 2x - 1$

4. Решим полученное иррациональное уравнение.
Возведем обе части в квадрат, предварительно установив условие неотрицательности правой части:
$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
Это условие не противоречит ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).

$(\sqrt{x^2 + 3x - 2})^2 = (2x - 1)^2$
$x^2 + 3x - 2 = 4x^2 - 4x + 1$
$3x^2 - 7x + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения.
$D = (-7)^2 - 4(3)(3) = 49 - 36 = 13$.
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$

5. Проверим найденные корни на соответствие условиям ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$) и дополнительному условию ($x \ge \frac{1}{2}$). Так как $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$, достаточно проверить выполнение условия $x \ge \frac{3}{4}$.

Проверим $x_1 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.
Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $7-4 < 7-\sqrt{13} < 7-3$, то есть $3 < 7-\sqrt{13} < 4$.
Значит, $\frac{3}{6} < \frac{7 - \sqrt{13}}{6} < \frac{4}{6}$, или $0.5 < x_1 < 0.67$.
Поскольку $x_1 \approx 0.56$ и $\frac{3}{4} = 0.75$, корень $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x_1 < 3/4$). Следовательно, это посторонний корень.

Проверим $x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$.
Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $7+3 < 7+\sqrt{13} < 7+4$, то есть $10 < 7+\sqrt{13} < 11$.
Значит, $\frac{10}{6} < \frac{7 + \sqrt{13}}{6} < \frac{11}{6}$, или $1.66 < x_2 < 1.84$.
Поскольку $x_2 > 1$, он удовлетворяет условию $x \ge \frac{3}{4}$. Следовательно, $x_2$ является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$.