Номер 15.17, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.17. Решите уравнение $ \sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x-1} = 5. $

Для решения уравнения $\sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x-1} = 5$ выполним следующие шаги.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$. Выражение под знаком кубического корня определено для любого действительного числа. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Для упрощения уравнения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x-2}$ и $b = \sqrt{x-1}$. Так как $b$ является арифметическим квадратным корнем, $b \ge 0$.

С новыми переменными исходное уравнение принимает вид:

$a + b = 5$

Теперь установим связь между переменными $a$ и $b$. Выразим $x$ из каждой замены:

Из $a = \sqrt[3]{x-2}$ следует $a^3 = x - 2 \implies x = a^3 + 2$.

Из $b = \sqrt{x-1}$ следует $b^2 = x - 1 \implies x = b^2 + 1$.

Приравняв выражения для $x$, получим второе уравнение: $a^3 + 2 = b^2 + 1$, или $a^3 - b^2 + 1 = 0$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a^3 - b^2 + 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b = 5 - a$ и подставим во второе уравнение:

$a^3 - (5 - a)^2 + 1 = 0$

$a^3 - (25 - 10a + a^2) + 1 = 0$

$a^3 - a^2 + 10a - 24 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно $a$. Его целые корни могут быть среди делителей свободного члена (-24). Проверим $a=2$:

$2^3 - 2^2 + 10 \cdot 2 - 24 = 8 - 4 + 20 - 24 = 4 + 20 - 24 = 0$.

Поскольку равенство верное, $a=2$ является корнем уравнения. Это позволяет нам разложить многочлен на множители. Разделив $a^3 - a^2 + 10a - 24$ на $(a-2)$, получим $a^2 + a + 12$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(a - 2)(a^2 + a + 12) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $a - 2 = 0 \implies a = 2$.

2) $a^2 + a + 12 = 0$. Для этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственное действительное решение для $a$ — это $a=2$.

Теперь вернемся к переменной $x$, используя замену $a = \sqrt[3]{x-2}$:

$\sqrt[3]{x-2} = 2$

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$x - 2 = 2^3$

$x - 2 = 8$

$x = 10$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=10$ ОДЗ ($10 \ge 1$). Условие выполняется.

Выполним проверку, подставив $x=10$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{10-2} + \sqrt{10-1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.

$5 = 5$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 10.