Номер 15.13, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.13. Решите уравнение $ \sqrt[3]{(x+3)^2} + \sqrt[3]{(6-x)^2} - \sqrt[3]{(x+3)(6-x)} = 3. $

Для решения данного уравнения $\sqrt[3]{(x + 3)^2} + \sqrt[3]{(6 - x)^2} - \sqrt[3]{(x + 3)(6 - x)} = 3$ введем замену переменных.

Пусть $a = \sqrt[3]{x + 3}$ и $b = \sqrt[3]{6 - x}$.

Тогда уравнение примет вид:

$$ a^2 + b^2 - ab = 3 $$

Найдем еще одно соотношение между переменными $a$ и $b$. Для этого возведем их в куб и сложим:

$$ a^3 = (\sqrt[3]{x + 3})^3 = x + 3 $$

$$ b^3 = (\sqrt[3]{6 - x})^3 = 6 - x $$

Сложив эти два выражения, получим:

$$ a^3 + b^3 = (x + 3) + (6 - x) = 9 $$

Таким образом, мы получили систему уравнений с переменными $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a^2 + b^2 - ab = 3 \\ a^3 + b^3 = 9 \end{cases} $$

Воспользуемся формулой суммы кубов для второго уравнения: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставим в нее известные значения из нашей системы:

$$ 9 = (a + b) \cdot 3 $$

Отсюда следует, что $a + b = 3$.

Теперь мы можем решить систему, подставив $b = 3 - a$ в первое уравнение $a^2 + b^2 - ab = 3$:

$$ a^2 + (3 - a)^2 - a(3 - a) = 3 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ a^2 + (9 - 6a + a^2) - (3a - a^2) = 3 $$

$$ a^2 + 9 - 6a + a^2 - 3a + a^2 = 3 $$

$$ 3a^2 - 9a + 9 = 3 $$

$$ 3a^2 - 9a + 6 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 3:

$$ a^2 - 3a + 2 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его корнями, по теореме Виета, являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$ и вернемся к переменной $x$, рассмотрев два случая.

1. Если $a = 1$, то $b = 3 - a = 3 - 1 = 2$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x + 3} = 1$.

Возведем обе части в куб: $x + 3 = 1^3$, откуда $x + 3 = 1$, и $x = -2$.

Проверим, выполняется ли при этом $x$ условие для $b$: $\sqrt[3]{6 - (-2)} = \sqrt[3]{8} = 2$. Условие выполняется.

2. Если $a = 2$, то $b = 3 - a = 3 - 2 = 1$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x + 3} = 2$.

Возведем обе части в куб: $x + 3 = 2^3$, откуда $x + 3 = 8$, и $x = 5$.

Проверим, выполняется ли при этом $x$ условие для $b$: $\sqrt[3]{6 - 5} = \sqrt[3]{1} = 1$. Условие выполняется.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 5$.