Номер 15.12, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.12. Решите уравнение $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Исходное уравнение: $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия неотрицательности подкоренного выражения: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Перепишем уравнение, сгруппировав последние два слагаемых:

$6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + (x+3) = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+3}$. По определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$. Тогда $y^2 = x+3$. После подстановки уравнение примет вид:

$6x^2 - 5xy + y^2 = 0$.

Это однородное квадратное уравнение относительно переменных $x$ и $y$. Разложим его левую часть на множители:

$6x^2 - 2xy - 3xy + y^2 = 0$

$2x(3x-y) - y(3x-y) = 0$

$(2x-y)(3x-y) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $2x - y = 0 \implies y = 2x$

2) $3x - y = 0 \implies y = 3x$

Рассмотрим каждый случай, выполнив обратную замену $y = \sqrt{x+3}$.

1. $y = 2x$

Получаем иррациональное уравнение $\sqrt{x+3} = 2x$.

Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, правая также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. С учетом ОДЗ, получаем общее ограничение $x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$x+3 = (2x)^2 \implies 4x^2 - x - 3 = 0$.

Находим корни квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4(4)(-3) = 49$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

Получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$.

Проверяем по ограничению $x \ge 0$. Корень $x_1 = 1$ подходит. Корень $x_2 = -\frac{3}{4}$ не подходит, следовательно, является посторонним.

2. $y = 3x$

Получаем уравнение $\sqrt{x+3} = 3x$.

Аналогично, требуем неотрицательность правой части: $3x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$x+3 = (3x)^2 \implies 9x^2 - x - 3 = 0$.

Находим корни: $D = (-1)^2 - 4(9)(-3) = 1 + 108 = 109$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{109}}{18}$.

Получаем два корня: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$.

Проверяем по ограничению $x \ge 0$. Корень $x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$ является положительным и подходит. Корень $x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$ является отрицательным (так как $\sqrt{109} > 1$), поэтому не подходит и является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения.

Ответ: $1; \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$.