Номер 15.8, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.8. Решите уравнение $x + \sqrt{(x+6)(x-2)} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$.

Решим уравнение $x + \sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 2 + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2 $

При $x \ge 2$ условие $(x+6)(x-2) \ge 0$ также выполняется, так как оба множителя неотрицательны. Следовательно, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

На ОДЗ справедливо тождество $\sqrt{(x+6)(x-2)} = \sqrt{x+6}\sqrt{x-2}$. Подставим это в уравнение:

$x + \sqrt{x+6}\sqrt{x-2} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их для дальнейшего разложения на множители:

$(x-2) - \sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}\sqrt{x-2} - \sqrt{x+6} = 0$

Заметим, что $x-2 = (\sqrt{x-2})^2$. Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} - 1) + \sqrt{x+6}(\sqrt{x-2} - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{x-2} - 1)$ за скобки:

$(\sqrt{x-2} - 1)(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.

1. $\sqrt{x-2} - 1 = 0$.

$\sqrt{x-2} = 1$.

Возведя обе части в квадрат, получим $x-2 = 1$, откуда $x=3$. Этот корень принадлежит ОДЗ ($3 \ge 2$).

2. $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0$.

Поскольку квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательной величиной, сумма двух корней может быть равна нулю только если оба корня равны нулю. Однако, если $\sqrt{x-2}=0$, то $x=2$, а если $\sqrt{x+6}=0$, то $x=-6$. Эти условия противоречат друг другу. Более того, на ОДЗ ($x \ge 2$) имеем $\sqrt{x-2} \ge 0$ и $\sqrt{x+6} \ge \sqrt{8} > 0$, поэтому их сумма всегда строго положительна. Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=3$. Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{(3+6)(3-2)} = 2 + \sqrt{3+6} + \sqrt{3-2}$

$3 + \sqrt{9 \cdot 1} = 2 + \sqrt{9} + \sqrt{1}$

$3 + 3 = 2 + 3 + 1$

$6 = 6$

Равенство верное, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $3$.