Номер 15.2, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.2. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0;$

2) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0;$

3) $x^2 - x + \sqrt{x^2-x+4} = 2;$

4) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5.$

1) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Это уравнение является биквадратным относительно корня. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x+5}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x+5} = (\sqrt[4]{x+5})^2 = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = 1$:
$\sqrt[4]{x+5} = 1$
Возведем обе части в 4-ю степень:
$x+5 = 1^4$
$x+5 = 1$
$x = -4$.

2) При $t = 2$:
$\sqrt[4]{x+5} = 2$
Возведем обе части в 4-ю степень:
$x+5 = 2^4$
$x+5 = 16$
$x = 11$.

Оба найденных значения $x=-4$ и $x=11$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -5$).

Ответ: -4; 11.

2) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$

Упростим выражение под первым корнем: $9-6x+x^2 = (3-x)^2$. Тогда уравнение примет вид: $\sqrt[6]{(3-x)^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$.

ОДЗ: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Для второго слагаемого: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Для первого слагаемого $(3-x)^2$ всегда неотрицательно. Таким образом, ОДЗ: $x \le 3$.

Поскольку $3-x \ge 0$, то $\sqrt[6]{(3-x)^2} = (3-x)^{2/6} = (3-x)^{1/3} = \sqrt[3]{3-x}$. Уравнение преобразуется к виду: $\sqrt[3]{3-x} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{3-x}$. Тогда $t \ge 0$, а $\sqrt[3]{3-x} = (\sqrt[6]{3-x})^2 = t^2$. Подставим в уравнение: $t^2 + 2t - 8 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, произведение -8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$. Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1=2$.

Выполним обратную замену для $t=2$:
$\sqrt[6]{3-x} = 2$
Возведем обе части в 6-ю степень:
$3-x = 2^6$
$3-x = 64$
$x = 3 - 64$
$x = -61$.

Корень $x = -61$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$).

Ответ: -61.

3) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 4} = 2$

ОДЗ: $x^2 - x + 4 \ge 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, то $x^2 - x + 4 > 0$ для всех $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 4}$. Тогда $t \ge 0$. Возведя обе части в квадрат, получим $t^2 = x^2 - x + 4$, откуда $x^2 - x = t^2 - 4$. Подставим в исходное уравнение: $(t^2 - 4) + t = 2$.

Перенесем все члены в одну сторону и решим полученное уравнение: $t^2 + t - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение -6. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$. Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1=2$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - x + 4} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - x + 4 = 4$
$x^2 - x = 0$
$x(x-1) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня действительные, что соответствует ОДЗ.

Ответ: 0; 1.

4) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5$

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Это означает, что дроби $\frac{3x+2}{2x-3}$ и $\frac{2x-3}{3x+2}$ должны быть строго положительны. Это эквивалентно условию $\frac{3x+2}{2x-3} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим ОДЗ: $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$.

Заметим, что выражения под корнями взаимообратные. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}$. Тогда $t > 0$, а $\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид: $t + \frac{1}{t} = 2,5$.

Запишем $2,5$ как $\frac{5}{2}$ и решим уравнение: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$. Умножим обе части на $2t$ (так как $t \ne 0$): $2t^2 + 2 = 5t$ $2t^2 - 5t + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. $t = \frac{5 \pm 3}{4}$. $t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = 2$:
$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = 2$
$\frac{3x+2}{2x-3} = 4$
$3x+2 = 4(2x-3)$
$3x+2 = 8x - 12$
$14 = 5x$
$x = \frac{14}{5} = 2,8$.

2) При $t = 1/2$:
$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = \frac{1}{2}$
$\frac{3x+2}{2x-3} = \frac{1}{4}$
$4(3x+2) = 2x - 3$
$12x+8 = 2x - 3$
$10x = -11$
$x = -\frac{11}{10} = -1,1$.

Проверим найденные корни по ОДЗ: $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$. $x = 2,8$ принадлежит интервалу $(3/2; +\infty)$, так как $2,8 > 1,5$. $x = -1,1$ принадлежит интервалу $(-\infty; -2/3)$, так как $-1,1 < -0,66...$. Оба корня подходят.

Ответ: -1,1; 2,8.