Номер 14.17, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.17. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{x^2 - 11x + 18};$

2) $\sqrt{x^2 - 3x - 10} + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = \sqrt{x^2 + 8x + 12}.$

1) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{x^2 - 11x + 18}$.
Сначала разложим подкоренные выражения на множители, найдя корни соответствующих квадратных трехчленов:
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$
$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$
$x^2 - 11x + 18 = (x-2)(x-9)$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x-2)(x-4)} = \sqrt{(x-2)(x-9)}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательны:
$\begin{cases} (x-1)(x-2) \ge 0 \\ (x-2)(x-4) \ge 0 \\ (x-2)(x-9) \ge 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [9, \infty)$.
Проверим, является ли $x=2$ корнем уравнения, так как это значение является граничной точкой для всех интервалов. Подставляя $x=2$ в исходное уравнение, получаем:
$\sqrt{2^2 - 3(2) + 2} + \sqrt{2^2 - 6(2) + 8} = \sqrt{2^2 - 11(2) + 18}$
$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что является верным равенством. Следовательно, $x=2$ — корень уравнения.
Рассмотрим остальные случаи из ОДЗ, где $x \neq 2$.
Случай 1: $x \in (-\infty, 1]$. В этом случае множители $(x-1), (x-2), (x-4), (x-9)$ отрицательны. Тогда уравнение можно переписать как:
$\sqrt{(1-x)(2-x)} + \sqrt{(2-x)(4-x)} = \sqrt{(2-x)(9-x)}$
Поскольку на данном промежутке $2-x > 0$, можно разделить обе части уравнения на $\sqrt{2-x}$:
$\sqrt{1-x} + \sqrt{4-x} = \sqrt{9-x}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{1-x} + \sqrt{4-x})^2 = (\sqrt{9-x})^2$
$(1-x) + 2\sqrt{(1-x)(4-x)} + (4-x) = 9-x$
$5 - 2x + 2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 9-x$
$2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = x + 4$
Правая часть должна быть неотрицательной: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$. С учетом рассматриваемого промежутка, ищем корни на отрезке $[-4, 1]$.
Возведем в квадрат еще раз:
$4(x^2 - 5x + 4) = (x+4)^2$
$4x^2 - 20x + 16 = x^2 + 8x + 16$
$3x^2 - 28x = 0 \implies x(3x-28) = 0$
Отсюда $x_1=0$ или $x_2 = 28/3$.
Корень $x_1=0$ принадлежит отрезку $[-4, 1]$. Корень $x_2 = 28/3 \approx 9.33$ не принадлежит этому отрезку. Значит, $x=0$ является решением.
Случай 2: $x \in [9, \infty)$. В этом случае множители $(x-1), (x-2), (x-4), (x-9)$ неотрицательны. Разделим уравнение $\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x-2)(x-4)} = \sqrt{(x-2)(x-9)}$ на $\sqrt{x-2} > 0$:
$\sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = \sqrt{x-9}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-4)} + (x-4) = x-9$
$2x - 5 + 2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = x-9$
$2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = -x - 4$
Левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, и правая должна быть неотрицательной: $-x-4 \ge 0 \implies x \le -4$.
Это условие противоречит рассматриваемому промежутку $x \in [9, \infty)$. Значит, на этом промежутке корней нет.
Объединяя все найденные корни, получаем: $0$ и $2$.
Ответ: $0; 2$.

2) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 3x - 10} + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = \sqrt{x^2 + 8x + 12}$.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$
$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$
$x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{(x-5)(x+2)} + \sqrt{(x+1)(x+2)} = \sqrt{(x+2)(x+6)}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} (x-5)(x+2) \ge 0 \\ (x+1)(x+2) \ge 0 \\ (x+2)(x+6) \ge 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup \{-2\} \cup [5, \infty)$.
Проверим, является ли $x=-2$ корнем. Подставляя $x=-2$ в исходное уравнение, получаем:
$\sqrt{(-2)^2 - 3(-2) - 10} + \sqrt{(-2)^2 + 3(-2) + 2} = \sqrt{(-2)^2 + 8(-2) + 12}$
$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что верно. Следовательно, $x=-2$ — корень уравнения.
Рассмотрим остальные случаи из ОДЗ, где $x \neq -2$.
Случай 1: $x \in (-\infty, -6]$. На этом промежутке $x+2 < 0$. Уравнение можно переписать как:
$\sqrt{(5-x)(-x-2)} + \sqrt{(-x-1)(-x-2)} = \sqrt{(-x-6)(-x-2)}$
Разделим на $\sqrt{-x-2} > 0$:
$\sqrt{5-x} + \sqrt{-x-1} = \sqrt{-x-6}$
Возведем обе части в квадрат:
$(5-x) + 2\sqrt{(5-x)(-x-1)} + (-x-1) = -x-6$
$4-2x + 2\sqrt{x^2-4x-5} = -x-6$
$2\sqrt{x^2-4x-5} = x-10$
Левая часть неотрицательна, значит $x-10 \ge 0 \implies x \ge 10$. Это условие не пересекается с промежутком $x \in (-\infty, -6]$. Корней в этом случае нет.
Случай 2: $x \in [5, \infty)$. На этом промежутке $x+2 > 0$. Разделим уравнение на $\sqrt{x+2} > 0$:
$\sqrt{x-5} + \sqrt{x+1} = \sqrt{x+6}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x+1)} + (x+1) = x+6$
$2x-4 + 2\sqrt{x^2-4x-5} = x+6$
$2\sqrt{x^2-4x-5} = 10-x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $10-x \ge 0 \implies x \le 10$. С учетом рассматриваемого промежутка, ищем корни на отрезке $[5, 10]$.
Возведем в квадрат еще раз:
$4(x^2-4x-5) = (10-x)^2$
$4x^2 - 16x - 20 = 100 - 20x + x^2$
$3x^2 + 4x - 120 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-120) = 16 + 1440 = 1456$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{1456}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 91}}{6} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{91}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{91}}{3}$
Получаем два корня: $x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3}$ и $x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{91}}{3}$.
Корень $x_2$ является отрицательным и не входит в отрезок $[5, 10]$.
Проверим корень $x_1$. Так как $9 < \sqrt{91} < 10$, то $5.33... = \frac{-2 + 2 \cdot 9}{3} < \frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3} < \frac{-2 + 2 \cdot 10}{3} = 6$.
Значение $x_1$ принадлежит отрезку $[5, 10]$, следовательно, является корнем уравнения.
Объединяя все найденные корни, получаем: $-2$ и $\frac{-2+2\sqrt{91}}{3}$.
Ответ: $-2; \frac{-2+2\sqrt{91}}{3}$.