Номер 14.16, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.16. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8};$

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 2} - \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{3x + 6}.$

1) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$

Сначала разложим подкоренные выражения на множители:

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 + 2x - 8 = (x-2)(x+4)$

$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(x-2)(x+2)} + \sqrt{(x-2)(x+4)} = \sqrt{(x-2)(x-4)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} (x-2)(x+2) \ge 0 \\ (x-2)(x+4) \ge 0 \\ (x-2)(x-4) \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы неравенств является множество $x \in (-\infty, -4] \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.

Рассмотрим точку $x=2$, которая входит в ОДЗ как изолированное решение. Подставим $x=2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2^2 - 4} + \sqrt{2^2 + 2(2) - 8} = \sqrt{2^2 - 6(2) + 8}$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что является верным равенством. Следовательно, $x=2$ — корень уравнения.

Теперь рассмотрим остальные случаи из ОДЗ. Перенесем все члены в левую часть:

$\sqrt{(x-2)(x+2)} + \sqrt{(x-2)(x+4)} - \sqrt{(x-2)(x-4)} = 0$

Вынесем общий множитель. Для разных интервалов ОДЗ множитель будет $\sqrt{x-2}$ или $\sqrt{2-x}$.

Случай 1: $x \in [4, \infty)$. В этом случае $x-2 > 0$, и мы можем вынести $\sqrt{x-2}$:

$\sqrt{x-2} (\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} - \sqrt{x-4}) = 0$

Так как на этом интервале $x \ne 2$, то $\sqrt{x-2} \ne 0$. Значит, должно выполняться равенство:

$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} = \sqrt{x-4}$

Однако, при $x \ge 4$ имеем $x+2 > x-4$, следовательно $\sqrt{x+2} > \sqrt{x-4}$. Поскольку $\sqrt{x+4} > 0$, левая часть уравнения всегда строго больше правой. Значит, на интервале $[4, \infty)$ решений нет.

Случай 2: $x \in (-\infty, -4]$. В этом случае $x-2 < 0$, $x+2 < 0$, $x+4 \le 0$, $x-4 < 0$. Мы можем переписать подкоренные выражения как произведение отрицательных чисел: $\sqrt{(2-x)(-x-2)}$.

Уравнение примет вид: $\sqrt{(2-x)(-x-2)} + \sqrt{(2-x)(-x-4)} = \sqrt{(2-x)(4-x)}$.

На этом интервале $2-x > 0$. Вынесем $\sqrt{2-x}$ за скобки и, поскольку он не равен нулю, разделим на него:

$\sqrt{-x-2} + \sqrt{-x-4} = \sqrt{4-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(-x-2) + 2\sqrt{(-x-2)(-x-4)} + (-x-4) = 4-x$

$-2x - 6 + 2\sqrt{x^2 + 6x + 8} = 4-x$

$2\sqrt{x^2 + 6x + 8} = x + 10$

Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $x+10 \ge 0$, то есть $x \ge -10$. С учетом рассматриваемого интервала, ищем решения на отрезке $[-10, -4]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$4(x^2 + 6x + 8) = (x+10)^2$

$4x^2 + 24x + 32 = x^2 + 20x + 100$

$3x^2 + 4x - 68 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4(3)(-68) = 16 + 816 = 832 = 64 \cdot 13$.

Корни уравнения: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{832}}{6} = \frac{-4 \pm 8\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{13}}{3}$.

Проверим, входят ли эти корни в отрезок $[-10, -4]$.

$x_1 = \frac{-2 + 4\sqrt{13}}{3}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_1 \approx \frac{-2 + 4 \cdot 3.6}{3} = \frac{12.4}{3} \approx 4.13$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-10, -4]$.

$x_2 = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$. $x_2 \approx \frac{-2 - 14.4}{3} = \frac{-16.4}{3} \approx -5.47$. Этот корень принадлежит отрезку $[-10, -4]$.

Таким образом, объединяя все найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $2; \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$.

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 2} - \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{3x + 6}$

Разложим подкоренные выражения на множители:

$2x^2 + 5x + 2 = (2x+1)(x+2)$

$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$

$3x + 6 = 3(x+2)$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(2x+1)(x+2)} - \sqrt{(x-1)(x+2)} = \sqrt{3(x+2)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} (2x+1)(x+2) \ge 0 \\ (x-1)(x+2) \ge 0 \\ 3(x+2) \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы неравенств является множество $x \in \{-2\} \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим точку $x=-2$, которая является изолированным решением в ОДЗ. Подставим $x=-2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-2)^2 + 5(-2) + 2} - \sqrt{(-2)^2 + (-2) - 2} = \sqrt{3(-2) + 6}$

$\sqrt{8 - 10 + 2} - \sqrt{4 - 2 - 2} = \sqrt{-6 + 6}$

$\sqrt{0} - \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что верно. Следовательно, $x=-2$ — корень уравнения.

Теперь рассмотрим случай $x \in [1, \infty)$. На этом интервале $x+2 > 0$. Вынесем $\sqrt{x+2}$ за скобки:

$\sqrt{x+2}(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1}) = \sqrt{x+2}\sqrt{3}$

Поскольку $x \ge 1$, то $x+2 \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt{x+2}$:

$\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3}$

Перенесем $\sqrt{x-1}$ в правую часть:

$\sqrt{2x+1} = \sqrt{x-1} + \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$2x+1 = (x-1) + 2\sqrt{3(x-1)} + 3$

$2x+1 = x+2 + 2\sqrt{3x-3}$

$x-1 = 2\sqrt{3x-3}$

При $x \ge 1$ левая часть $x-1$ неотрицательна, поэтому мы можем снова возвести в квадрат:

$(x-1)^2 = (2\sqrt{3x-3})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(3x-3)$

$x^2 - 2x + 1 = 12x - 12$

$x^2 - 14x + 13 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 13$.

Оба корня принадлежат рассматриваемому интервалу $[1, \infty)$ и являются решениями.

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: $-2; 1; 13$.