Номер 14.14, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.14. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6;$

2) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1;$

3) $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4.$

1) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab+b^2$.

Для первого слагаемого: $x-1-2\sqrt{x-2} = (x-2) - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-2}-1)^2$.

Для второго слагаемого: $x+7-6\sqrt{x-2} = (x-2) - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 3 + 3^2 = x-2 - 6\sqrt{x-2} + 9 = (\sqrt{x-2}-3)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x-2}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2} = 6$

Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:

$|\sqrt{x-2}-1| + |\sqrt{x-2}-3| = 6$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x-2}$. Так как $x \ge 2$, то $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется к виду: $|y-1| + |y-3| = 6$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая на числовой прямой для $y \ge 0$.

1. Если $0 \le y < 1$, то $y-1 < 0$ и $y-3 < 0$. Уравнение принимает вид:

$-(y-1) - (y-3) = 6$

$1-y + 3-y = 6$

$4-2y = 6$

$-2y = 2 \implies y = -1$. Это значение не принадлежит промежутку $0 \le y < 1$, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если $1 \le y \le 3$, то $y-1 \ge 0$ и $y-3 \le 0$. Уравнение принимает вид:

$(y-1) - (y-3) = 6$

$y-1 - y+3 = 6$

$2 = 6$. Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

3. Если $y > 3$, то $y-1 > 0$ и $y-3 > 0$. Уравнение принимает вид:

$(y-1) + (y-3) = 6$

$2y - 4 = 6$

$2y = 10 \implies y=5$. Это значение удовлетворяет условию $y > 3$.

Мы нашли единственное решение для $y$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$\sqrt{x-2} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 = 25 \implies x = 27$.

Найденный корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: $27$.

2) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1$

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделяя полные квадраты:

$x+3-4\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} \cdot 2 + 4 = (\sqrt{x-1}-2)^2$.

$x+8-6\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} \cdot 3 + 9 = (\sqrt{x-1}-3)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2} = 1$

$|\sqrt{x-1}-2| + |\sqrt{x-1}-3| = 1$

Сделаем замену $y = \sqrt{x-1}$, где $y \ge 0$.

$|y-2| + |y-3| = 1$

Рассмотрим три случая:

1. Если $0 \le y < 2$, то $y-2 < 0$ и $y-3 < 0$.

$-(y-2) - (y-3) = 1$

$2-y + 3-y = 1$

$5-2y = 1 \implies 2y=4 \implies y=2$. Это значение не входит в интервал $0 \le y < 2$. Решений нет.

2. Если $2 \le y \le 3$, то $y-2 \ge 0$ и $y-3 \le 0$.

$(y-2) - (y-3) = 1$

$y-2 - y+3 = 1$

$1=1$. Это тождество, верное для всех $y$ из данного промежутка. Следовательно, решением является весь отрезок $2 \le y \le 3$.

3. Если $y > 3$, то $y-2 > 0$ и $y-3 > 0$.

$(y-2) + (y-3) = 1$

$2y-5 = 1 \implies 2y=6 \implies y=3$. Это значение является концом отрезка, найденного в предыдущем случае.

Таким образом, решением для $y$ является отрезок $[2, 3]$. Вернемся к переменной $x$:

$2 \le \sqrt{x-1} \le 3$

Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$4 \le x-1 \le 9$

Прибавим 1 ко всем частям:

$5 \le x \le 10$.

Все значения из этого отрезка удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: $[5; 10]$.

3) $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Преобразуем подкоренные выражения:

$x+2+2\sqrt{x+1} = (x+1) + 2\sqrt{x+1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+1}+1)^2$.

$x+5-4\sqrt{x+1} = (x+1) - 2\sqrt{x+1} \cdot 2 + 4 = (\sqrt{x+1}-2)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2} = 4$

$|\sqrt{x+1}+1| - |\sqrt{x+1}-2| = 4$

Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x+1}+1| = \sqrt{x+1}+1$.

Уравнение упрощается:

$(\sqrt{x+1}+1) - |\sqrt{x+1}-2| = 4$

Сделаем замену $y = \sqrt{x+1}$, где $y \ge 0$.

$(y+1) - |y-2| = 4$

Рассмотрим два случая:

1. Если $0 \le y < 2$, то $y-2 < 0$.

$(y+1) - (-(y-2)) = 4$

$y+1 + y-2 = 4$

$2y-1 = 4 \implies 2y=5 \implies y=2.5$. Это значение не входит в промежуток $0 \le y < 2$. Решений нет.

2. Если $y \ge 2$, то $y-2 \ge 0$.

$(y+1) - (y-2) = 4$

$y+1 - y+2 = 4$

$3=4$. Получено неверное равенство. Решений нет.

Так как ни в одном из случаев решений для $y$ не найдено, то исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.