Номер 14.8, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2;$

2) $\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1;$

3) $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1;$

4) $2\sqrt{2 - x} - \sqrt{7 - x} = 1.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 22 - x \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 22 \\ x \le 10 \end{cases} \implies x \le 10$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:

$\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{22 - x})^2 = (2 + \sqrt{10 - x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + (10 - x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10 - x}$.

Упростим уравнение, уединив оставшийся корень:

$22 - 14 = 4\sqrt{10 - x}$

$8 = 4\sqrt{10 - x}$

$2 = \sqrt{10 - x}$.

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10 - x})^2$

$4 = 10 - x$.

Отсюда находим $x$:

$x = 10 - 4 = 6$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \le 10$). Корень $x=6$ удовлетворяет этому условию. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{22 - 6} - \sqrt{10 - 6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

$2 = 2$. Верно.

Ответ: 6

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 9 \end{cases} \implies 5 \le x \le 9$.

Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{x - 5} = 1 + \sqrt{9 - x}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x - 5})^2 = (1 + \sqrt{9 - x})^2$

$x - 5 = 1 + 2\sqrt{9 - x} + (9 - x)$

$x - 5 = 10 - x + 2\sqrt{9 - x}$.

Уединим корень:

$x - 5 - 10 + x = 2\sqrt{9 - x}$

$2x - 15 = 2\sqrt{9 - x}$.

Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $2x - 15 \ge 0$, откуда $x \ge 7.5$. С учетом ОДЗ получаем $7.5 \le x \le 9$.

Возводим в квадрат:

$(2x - 15)^2 = (2\sqrt{9 - x})^2$

$4x^2 - 60x + 225 = 4(9 - x)$

$4x^2 - 60x + 225 = 36 - 4x$.

Получаем квадратное уравнение:

$4x^2 - 56x + 189 = 0$.

Решаем его через дискриминант: $D = (-56)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 189 = 3136 - 3024 = 112$.

Корни уравнения: $x = \frac{56 \pm \sqrt{112}}{8} = \frac{56 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{14 + \sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = \frac{14 - \sqrt{7}}{2}$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 7.5$.

Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $x_1 = \frac{14 + \sqrt{7}}{2} > \frac{14 + 2}{2} = 8$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 7.5$.

$x_2 = \frac{14 - \sqrt{7}}{2} < \frac{14 - 2}{2} = 6$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 7.5$, значит, он посторонний.

Ответ: $\frac{14 + \sqrt{7}}{2}$

3)

Исходное уравнение: $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x + 3 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.5 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies x \ge -1$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{2x + 3} = 1 + \sqrt{x + 1}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x + 3})^2 = (1 + \sqrt{x + 1})^2$

$2x + 3 = 1 + 2\sqrt{x + 1} + (x + 1)$

$2x + 3 = x + 2 + 2\sqrt{x + 1}$.

Уединим корень:

$2x + 3 - x - 2 = 2\sqrt{x + 1}$

$x + 1 = 2\sqrt{x + 1}$.

Возведем обе части в квадрат. Заметим, что условие $x + 1 \ge 0$ уже учтено в ОДЗ.

$(x + 1)^2 = (2\sqrt{x + 1})^2$

$(x + 1)^2 = 4(x + 1)$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$(x + 1)^2 - 4(x + 1) = 0$

$(x + 1)(x + 1 - 4) = 0$

$(x + 1)(x - 3) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.

При $x = -1$: $\sqrt{2(-1) + 3} - \sqrt{-1 + 1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1$. Верно.

При $x = 3$: $\sqrt{2(3) + 3} - \sqrt{3 + 1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: -1; 3

4)

Исходное уравнение: $2\sqrt{2 - x} - \sqrt{7 - x} = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2 - x \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \le 7 \end{cases} \implies x \le 2$.

Перенесем один из членов в правую часть:

$2\sqrt{2 - x} = 1 + \sqrt{7 - x}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2 - x})^2 = (1 + \sqrt{7 - x})^2$

$4(2 - x) = 1 + 2\sqrt{7 - x} + (7 - x)$

$8 - 4x = 8 - x + 2\sqrt{7 - x}$.

Уединим корень:

$8 - 4x - 8 + x = 2\sqrt{7 - x}$

$-3x = 2\sqrt{7 - x}$.

Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $-3x \ge 0$, откуда $x \le 0$. С учетом ОДЗ получаем $x \le 0$.

Возводим в квадрат:

$(-3x)^2 = (2\sqrt{7 - x})^2$

$9x^2 = 4(7 - x)$

$9x^2 = 28 - 4x$.

Получаем квадратное уравнение:

$9x^2 + 4x - 28 = 0$.

Решаем его через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-28) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{-4 \pm 32}{18}$.

$x_1 = \frac{-4 + 32}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$.

$x_2 = \frac{-4 - 32}{18} = \frac{-36}{18} = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le 0$.

Корень $x_1 = \frac{14}{9}$ не удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, он посторонний.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию $x \le 0$. Проверим его подстановкой в исходное уравнение:

$2\sqrt{2 - (-2)} - \sqrt{7 - (-2)} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Верно.

Ответ: -2