Номер 14.11, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.11. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5} = 3;$

2) $\sqrt{5x+1} + \sqrt{7-x} = 6.$

1) $\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5} = 3$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения, стоящие под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-5; 4]$.

Теперь решим уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5})^2 = 3^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:

$(\sqrt{4-x})^2 + 2 \cdot \sqrt{4-x} \cdot \sqrt{x+5} + (\sqrt{x+5})^2 = 9$

$(4-x) + 2\sqrt{(4-x)(x+5)} + (x+5) = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9 + 2\sqrt{(4-x)(x+5)} = 9$

Вычтем 9 из обеих частей:

$2\sqrt{(4-x)(x+5)} = 0$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{(4-x)(x+5)} = 0$

Возведем обе части в квадрат еще раз:

$(4-x)(x+5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$4-x = 0$ или $x+5 = 0$

Отсюда находим два возможных корня:

$x_1 = 4$

$x_2 = -5$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Оба корня, $x=4$ и $x=-5$, принадлежат отрезку $[-5; 4]$.

Выполним проверку, подставив корни в исходное уравнение:

Для $x = 4$: $\sqrt{4-4} + \sqrt{4+5} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3$. Равенство верно.

Для $x = -5$: $\sqrt{4-(-5)} + \sqrt{-5+5} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-5; 4$.

2) $\sqrt{5x+1} + \sqrt{7-x} = 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 5x + 1 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 5x \ge -1 \\ x \le 7 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -1/5 \\ x \le 7 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-1/5; 7]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x+1} + \sqrt{7-x})^2 = 6^2$

$(5x+1) + 2\sqrt{(5x+1)(7-x)} + (7-x) = 36$

Приведем подобные слагаемые:

$4x + 8 + 2\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 36$

Изолируем радикал в одной части уравнения:

$2\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 36 - 8 - 4x$

$2\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 28 - 4x$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 14 - 2x$

Так как левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $14 - 2x \ge 0$, что дает $2x \le 14$ или $x \le 7$. Это условие не сужает найденную ранее ОДЗ.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(5x+1)(7-x) = (14 - 2x)^2$

$35x - 5x^2 + 7 - x = 196 - 56x + 4x^2$

$-5x^2 + 34x + 7 = 4x^2 - 56x + 196$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 - 90x + 189 = 0$

Разделим уравнение на 9 для упрощения:

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 21. Легко подобрать корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = 7$

Оба корня, $x=3$ и $x=7$, принадлежат ОДЗ $x \in [-1/5; 7]$.

Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:

Для $x = 3$: $\sqrt{5(3)+1} + \sqrt{7-3} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. Равенство верно.

Для $x = 7$: $\sqrt{5(7)+1} + \sqrt{7-7} = \sqrt{36} + \sqrt{0} = 6 + 0 = 6$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $3; 7$.