Номер 14.18, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.18. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$\sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}} = a - x.$

Исходное уравнение: $\sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}} = a - x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x + \frac{1}{4} \ge 0$, откуда $x \ge -\frac{1}{4}$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $a - x \ge 0$, откуда $x \le a$.
3. Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным: $x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} \ge 0$. При $x \ge -\frac{1}{4}$ имеем $\sqrt{x + \frac{1}{4}} \ge 0$ и $x + \frac{1}{2} = (x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4} > 0$. Следовательно, это выражение всегда положительно в области определения внутреннего корня.
Таким образом, ОДЗ для $x$ определяется системой неравенств: $-\frac{1}{4} \le x \le a$. Для существования решений необходимо, чтобы промежуток $[-\frac{1}{4}, a]$ не был пустым, то есть $a \ge -\frac{1}{4}$.

Преобразуем выражение под внешним корнем, выделив полный квадрат:$x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} = \left(x + \frac{1}{4}\right) + \sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} = \left(\sqrt{x + \frac{1}{4}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{x + \frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}\right)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:$\sqrt{\left(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}\right)^2} = a - x$. Так как выражение $\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}$ всегда положительно, уравнение принимает вид:$\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} = a - x$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x + \frac{1}{4}}$. По определению корня, $t \ge 0$. Из замены следует, что $t^2 = x + \frac{1}{4}$, то есть $x = t^2 - \frac{1}{4}$. Подставим в уравнение:$t + \frac{1}{2} = a - \left(t^2 - \frac{1}{4}\right)$$t + \frac{1}{2} = a - t^2 + \frac{1}{4}$$t^2 + t + \frac{1}{4} - a = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант:$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\frac{1}{4} - a\right) = 1 - 1 + 4a = 4a$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $4a \ge 0$, откуда $a \ge 0$. Корни уравнения: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{4a}}{2} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{a}}{2}$. Получаем два корня: $t_1 = \frac{-1 - 2\sqrt{a}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 + 2\sqrt{a}}{2}$.

Вспомним, что по условию замены $t \ge 0$. Корень $t_1 = \frac{-1 - 2\sqrt{a}}{2}$ является отрицательным при всех $a \ge 0$, так как $-1 - 2\sqrt{a} \le -1$. Следовательно, он не является решением. Рассмотрим корень $t_2 = \frac{-1 + 2\sqrt{a}}{2}$. Условие $t_2 \ge 0$ эквивалентно неравенству:$-1 + 2\sqrt{a} \ge 0 \implies 2\sqrt{a} \ge 1 \implies \sqrt{a} \ge \frac{1}{2}$. Возведя обе части в квадрат (это возможно, так как они неотрицательны), получаем $a \ge \frac{1}{4}$.

Таким образом, уравнение имеет решение только при $a \ge \frac{1}{4}$. При $a < \frac{1}{4}$ действительных решений, удовлетворяющих условию $t \ge 0$, нет. Если $a \ge \frac{1}{4}$, то $t = \frac{-1 + 2\sqrt{a}}{2}$. Произведем обратную замену:$\sqrt{x + \frac{1}{4}} = \frac{2\sqrt{a} - 1}{2}$. Возведем обе части в квадрат:$x + \frac{1}{4} = \left(\frac{2\sqrt{a} - 1}{2}\right)^2 = \frac{4a - 4\sqrt{a} + 1}{4}$.$x = \frac{4a - 4\sqrt{a} + 1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4a - 4\sqrt{a}}{4} = a - \sqrt{a}$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = a - \sqrt{a}$ условиям ОДЗ ($-\frac{1}{4} \le x \le a$) при $a \ge \frac{1}{4}$.
1. $a - \sqrt{a} \le a \implies -\sqrt{a} \le 0$. Это верно для всех $a \ge 0$.
2. $a - \sqrt{a} \ge -\frac{1}{4} \implies a - \sqrt{a} + \frac{1}{4} \ge 0 \implies (\sqrt{a} - \frac{1}{2})^2 \ge 0$. Это неравенство верно для всех $a \ge 0$.
Оба условия ОДЗ выполняются, следовательно, найденный корень является решением уравнения при $a \ge \frac{1}{4}$.

Ответ: если $a < \frac{1}{4}$, то корней нет; если $a \ge \frac{1}{4}$, то $x = a - \sqrt{a}$.