Номер 14.21, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.21. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a$ имеет единственное решение?

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Исходное уравнение $\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} y = \sqrt{4x - x^2 - 3} \\ y = x - a \end{cases}$

Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций.

1. Анализ функции $y = \sqrt{4x - x^2 - 3}$

Найдем область определения функции:$4x - x^2 - 3 \ge 0$$x^2 - 4x + 3 \le 0$Корнями уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [1, 3]$.

Преобразуем уравнение графика. Так как $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат:$y^2 = 4x - x^2 - 3$$x^2 - 4x + 3 + y^2 = 0$$(x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 + y^2 = 0$$(x - 2)^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности с центром в точке $C(2, 0)$ и радиусом $R = 1$. Учитывая условие $y \ge 0$, график функции представляет собой верхнюю полуокружность этой окружности.

2. Анализ функции $y = x - a$

Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k = 1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $Ox$ ( $a$ является $x$-координатой точки пересечения прямой с осью абсцисс).

3. Поиск количества точек пересечения

Нам необходимо найти все значения параметра $a$, при которых прямая $y = x - a$ имеет ровно одну общую точку с верхней полуокружностью $(x - 2)^2 + y^2 = 1, y \ge 0$.

Рассмотрим несколько ключевых положений прямой.

Случай 1: Прямая касается полуокружности.

Касание происходит, когда расстояние от центра окружности $C(2, 0)$ до прямой $x - y - a = 0$ равно радиусу $R = 1$. Используем формулу расстояния от точки до прямой:$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$\frac{|1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 1$$\frac{|2 - a|}{\sqrt{2}} = 1$$|2 - a| = \sqrt{2}$

Отсюда получаем два значения для $a$:1) $2 - a = \sqrt{2} \implies a = 2 - \sqrt{2}$2) $2 - a = -\sqrt{2} \implies a = 2 + \sqrt{2}$

Для $a = 2 - \sqrt{2}$ прямая $y = x - (2 - \sqrt{2})$ касается полуокружности в верхней полуплоскости (точка касания имеет координаты $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$). Следовательно, при $a = 2 - \sqrt{2}$ уравнение имеет одно решение.

Для $a = 2 + \sqrt{2}$ прямая касается окружности в нижней полуплоскости (точка касания $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$), поэтому она не пересекает график нашей функции. Решений нет.

Случай 2: Прямая проходит через концы полуокружности.

Концы полуокружности находятся в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

а) Прямая проходит через точку $(1, 0)$:$0 = 1 - a \implies a = 1$. При $a = 1$ прямая $y = x - 1$ пересекает полуокружность в двух точках: $(1, 0)$ и $(2, 1)$. Таким образом, при $a=1$ имеем два решения.

б) Прямая проходит через точку $(3, 0)$:$0 = 3 - a \implies a = 3$. При $a = 3$ прямая $y = x - 3$ пересекает полуокружность только в одной точке $(3, 0)$ (вторая точка пересечения с полной окружностью $(2, -1)$ лежит в нижней полуплоскости). Следовательно, при $a=3$ уравнение имеет одно решение.

Случай 3: Анализ промежуточных значений $a$.

- При $a < 2 - \sqrt{2}$ прямая находится выше касательной и не пересекает полуокружность (0 решений).- При $a \in (2 - \sqrt{2}, 1)$ прямая пересекает полуокружность в двух точках (2 решения).- При $a \in (1, 3)$ прямая пересекает основание полуокружности (отрезок $[1, 3]$ на оси $Ox$). При этом одна точка пересечения с полной окружностью будет иметь положительную ординату $y$, а другая — отрицательную. Таким образом, прямая пересекает верхнюю полуокружность ровно в одной точке (1 решение).- При $a > 3$ прямая проходит ниже точки $(3,0)$ и не пересекает верхнюю полуокружность (0 решений).

Вывод:

Единственное решение уравнение имеет в следующих случаях:

• При касании прямой и верхней полуокружности, что соответствует $a = 2 - \sqrt{2}$.
• Когда прямая проходит через правую конечную точку полуокружности, что соответствует $a=3$.
• Когда прямая пересекает полуокружность в одной точке при $a \in (1, 3)$.

Объединяя эти результаты, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a = 2 - \sqrt{2}$ и при $a \in (1, 3]$.

Ответ: $a \in \{2-\sqrt{2}\} \cup (1, 3]$.