Номер 15.7, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.7. Решите уравнение $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}=4-2x$.

Запишем исходное уравнение:$ \sqrt{x-1+x+3+2\sqrt{(x-1)(x+3)}} = 4-2x $

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Выражения под внутренними корнями должны быть неотрицательными:$ x-1 \geq 0 \implies x \geq 1 $$ x+3 \geq 0 \implies x \geq -3 $

2. Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:$ 4-2x \geq 0 \implies 4 \geq 2x \implies x \leq 2 $

Объединяя все условия ($x \geq 1$, $x \geq -3$ и $x \leq 2$), получаем ОДЗ: $ x \in [1, 2] $.

Теперь упростим левую часть уравнения. Заметим, что выражение под внешним корнем напоминает формулу квадрата суммы: $a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$. Пусть $ a = \sqrt{x-1} $ и $ b = \sqrt{x+3} $. Тогда:$ a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1 $$ b^2 = (\sqrt{x+3})^2 = x+3 $$ 2ab = 2\sqrt{x-1}\sqrt{x+3} = 2\sqrt{(x-1)(x+3)} $

Подставив это в левую часть уравнения, получаем:$ \sqrt{(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)}} = \sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + (\sqrt{x+3})^2 + 2\sqrt{x-1}\sqrt{x+3}} $Это в точности соответствует правой части формулы квадрата суммы:$ \sqrt{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2} $

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:$ \sqrt{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2} = 4-2x $Поскольку выражение $ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} $ является суммой арифметических корней, оно всегда неотрицательно. Поэтому, извлекая корень, мы получаем:$ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = 4-2x $

Для решения этого уравнения рассмотрим функции в левой и правой частях на ОДЗ $ x \in [1, 2] $.Let $ f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} $. Эта функция является суммой двух возрастающих функций, а значит, $f(x)$ — строго возрастающая функция на отрезке $[1, 2]$.Let $ g(x) = 4-2x $. Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-2$), следовательно, $g(x)$ — строго убывающая функция.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня. Попробуем найти этот корень методом подбора, проверив целочисленные значения из ОДЗ. Проверим $ x=1 $:Левая часть: $ f(1) = \sqrt{1-1} + \sqrt{1+3} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 0 + 2 = 2 $. Правая часть: $ g(1) = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2 $. Левая часть равна правой, следовательно, $ x=1 $ является корнем уравнения.

Поскольку мы установили, что уравнение не может иметь более одного корня, $ x=1 $ является единственным решением.

Ответ: $1$