Номер 15.11, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.11. Решите уравнение $4x^2 + 12x\sqrt{1+x} = 27(1+x)$.

Исходное уравнение:

$4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} = 27(1 + x)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

2. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} - 27(1 + x) = 0$

3. Заметим, что это уравнение является однородным относительно выражений $2x$ и $\sqrt{1+x}$. Однако, более простой способ решения — выделить полный квадрат. Представим $4x^2$ как $(2x)^2$ и $12x\sqrt{1+x}$ как $2 \cdot (2x) \cdot (3\sqrt{1+x})$.

Дополним левую часть до полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2x$ и $b=3\sqrt{1+x}$:

$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3\sqrt{1+x}) + (3\sqrt{1+x})^2 - (3\sqrt{1+x})^2 - 27(1+x) = 0$

Свернем первые три слагаемых по формуле квадрата суммы:

$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 - 9(1+x) - 27(1+x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 - 36(1+x) = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 = 36(1+x)$

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как по ОДЗ $1+x \ge 0$, то $\sqrt{36(1+x)} = 6\sqrt{1+x}$.

$2x + 3\sqrt{1+x} = \pm 6\sqrt{1+x}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2x + 3\sqrt{1+x} = 6\sqrt{1+x}$

$2x = 6\sqrt{1+x} - 3\sqrt{1+x}$

$2x = 3\sqrt{1+x}$

Для решения этого уравнения необходимо возвести обе части в квадрат. Правая часть $3\sqrt{1+x}$ неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.

Возводим в квадрат:

$(2x)^2 = (3\sqrt{1+x})^2$

$4x^2 = 9(1+x)$

$4x^2 - 9x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$

$x_1 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

$x_2 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Проверяем корни по условию $x \ge 0$. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -3/4$ не удовлетворяет условию.

Случай 2: $2x + 3\sqrt{1+x} = -6\sqrt{1+x}$

$2x = -6\sqrt{1+x} - 3\sqrt{1+x}$

$2x = -9\sqrt{1+x}$

Правая часть $-9\sqrt{1+x}$ неположительна, следовательно, левая часть также должна быть неположительной: $2x \le 0 \Rightarrow x \le 0$. Учитывая ОДЗ ($x \ge -1$), получаем условие $-1 \le x \le 0$.

Возводим в квадрат:

$(2x)^2 = (-9\sqrt{1+x})^2$

$4x^2 = 81(1+x)$

$4x^2 - 81x - 81 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-81)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-81) = 81^2 + 16 \cdot 81 = 81(81+16) = 81 \cdot 97$

$\sqrt{D} = \sqrt{81 \cdot 97} = 9\sqrt{97}$

$x_3 = \frac{81 + 9\sqrt{97}}{8}$

$x_4 = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$

Проверяем корни по условию $-1 \le x \le 0$.

Корень $x_3 = \frac{81 + 9\sqrt{97}}{8}$ является положительным числом, так что он не удовлетворяет условию $x \le 0$.

Для корня $x_4 = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$ оценим его значение. Так как $9 < \sqrt{97} < 10$, то $81 < 9\sqrt{97} < 90$.

Значит, $81 - 90 < 81 - 9\sqrt{97} < 81 - 81$, то есть $-9 < 81 - 9\sqrt{97} < 0$.

Разделив на 8, получаем $-\frac{9}{8} < x_4 < 0$, то есть $-1.125 < x_4 < 0$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $x_4 \ge -1$.

$\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8} \ge -1 \Leftrightarrow 81 - 9\sqrt{97} \ge -8 \Leftrightarrow 89 \ge 9\sqrt{97} \Leftrightarrow \frac{89}{9} \ge \sqrt{97}$.

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $(\frac{89}{9})^2 \ge 97 \Leftrightarrow \frac{7921}{81} \ge 97 \Leftrightarrow 97\frac{64}{81} \ge 97$. Неравенство верное.

Следовательно, корень $x_4 = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$ удовлетворяет условию $-1 \le x \le 0$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=3$, $x=\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$.