Номер 15.9, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.9. Решите уравнение
$\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16.$

Данное уравнение:

$ \sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16 $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases}2x+3 \ge 0 \\x+1 \ge 0 \\2x^2+5x+3 \ge 0\end{cases}$

Решим систему неравенств:

1) $2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$

2) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

3) $2x^2+5x+3 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2+5x+3=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{4}$, то есть $x_1 = -1$ и $x_2 = -1.5$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1.5] \cup [-1, \infty)$.

Пересечение всех трех условий дает ОДЗ: $x \ge -1$.

Заметим, что подкоренное выражение $2x^2+5x+3$ является произведением двух других подкоренных выражений: $(2x+3)(x+1) = 2x^2+2x+3x+3 = 2x^2+5x+3$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ \sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{(2x+3)(x+1)} - 16 $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{2x+3}$ и $b = \sqrt{x+1}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$ a + b = 3x + 2ab - 16 $

Выразим $3x$ через $a$ и $b$.

$ a^2 = 2x+3 $

$ b^2 = x+1 $

Сложим эти два равенства: $a^2 + b^2 = (2x+3) + (x+1) = 3x+4$. Отсюда $3x = a^2+b^2-4$.

Подставим выражение для $3x$ в уравнение с новыми переменными:

$ a+b = (a^2+b^2-4) + 2ab - 16 $

$ a+b = a^2+2ab+b^2 - 20 $

Справа мы видим формулу полного квадрата: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.

$ a+b = (a+b)^2 - 20 $

Сделаем еще одну замену: пусть $y = a+b$.

$ y = y^2 - 20 $

$ y^2 - y - 20 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=5$ и $y_2=-4$.

Таким образом, мы имеем два случая:

1) $a+b = 5$

2) $a+b = -4$

Так как $a = \sqrt{2x+3} \ge 0$ и $b = \sqrt{x+1} \ge 0$, их сумма не может быть отрицательной. Следовательно, случай $a+b = -4$ невозможен.

Остается решить уравнение $a+b = 5$. Сделаем обратную замену:

$ \sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 5 $

Уединим один из корней и возведем обе части в квадрат:

$ \sqrt{2x+3} = 5 - \sqrt{x+1} $

$ (\sqrt{2x+3})^2 = (5 - \sqrt{x+1})^2 $

$ 2x+3 = 25 - 10\sqrt{x+1} + (x+1) $

$ 2x+3 = 26 + x - 10\sqrt{x+1} $

Снова уединим корень:

$ 10\sqrt{x+1} = 26 + x - 2x - 3 $

$ 10\sqrt{x+1} = 23-x $

Возведем обе части в квадрат. При этом необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $23-x \ge 0$, то есть $x \le 23$.

$ (10\sqrt{x+1})^2 = (23-x)^2 $

$ 100(x+1) = 529 - 46x + x^2 $

$ 100x+100 = 529 - 46x + x^2 $

$ x^2 - 146x + 429 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-146)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 429 = 21316 - 1716 = 19600 = 140^2$.

$ x_1 = \frac{146 + 140}{2} = \frac{286}{2} = 143 $

$ x_2 = \frac{146 - 140}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

Проверим найденные корни.

Корень $x_1 = 143$ не удовлетворяет условию $x \le 23$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$) и условию $3 \le 23$.

Сделаем проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

Левая часть: $ \sqrt{2(3)+3} + \sqrt{3+1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5 $.

Правая часть: $ 3(3) + 2\sqrt{2(3)^2+5(3)+3} - 16 = 9 + 2\sqrt{18+15+3} - 16 = 9 + 2\sqrt{36} - 16 = 9 + 12 - 16 = 5 $.

$5 = 5$. Равенство верное, значит $x=3$ является решением уравнения.

Ответ: $3$.