Страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.4. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0$;

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2$;

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8$;

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$.

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0$

В данном уравнении можно заметить повторяющуюся часть $x^2 - 4x$. Чтобы упростить уравнение, воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Возведем обе части равенства $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$ в квадрат, чтобы выразить $x^2 - 4x$: $t^2 = x^2 - 4x + 20$ $x^2 - 4x = t^2 - 20$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение: $(t^2 - 20) - 3t + 10 = 0$ $t^2 - 3t - 10 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Корнями являются $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.

Вспомним об ограничении $t \ge 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, он является посторонним. Таким образом, у нас остается единственный корень $t = 5$.

Теперь выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - 4x + 20} = 5$

Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 4x + 20 = 25$ $x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $x$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения определяется условием $x^2 - 4x + 20 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 16 - 80 = -64 < 0$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена вверх и не пересекает ось абсцисс, то есть выражение $x^2 - 4x + 20$ положительно при любых $x$. Значит, ОДЗ $x \in \mathbb{R}$. Оба найденных корня являются решениями.

Ответ: $-1; 5$.

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2$

Преобразуем правую часть уравнения: $4 + 3x - x^2 = 4 - (x^2 - 3x)$. Уравнение принимает вид: $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 - (x^2 - 3x)$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 3x + 11}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x^2 - 3x + 11$, и отсюда $x^2 - 3x = t^2 - 11$.

Подставим это в преобразованное уравнение: $2t = 4 - (t^2 - 11)$ $2t = 4 - t^2 + 11$ $t^2 + 2t - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$. Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -5$ является посторонним. Остается $t = 3$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 3$

Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 3x + 11 = 9$ $x^2 - 3x + 2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим ОДЗ. 1. Выражение под корнем $x^2 - 3x + 11$ всегда положительно (дискриминант $D = 9 - 44 = -35 < 0$). 2. Правая часть исходного уравнения должна быть неотрицательной: $4 + 3x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 3x - 4 \le 0$. Корнями $x^2 - 3x - 4 = 0$ являются $x = -1$ и $x = 4$. Неравенство выполняется для $x \in [-1, 4]$. Оба найденных корня ($1$ и $2$) принадлежат этому отрезку, следовательно, являются решениями.

Ответ: $1; 2$.

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8$

Заметим, что $2x^2 - 6x + 40 = 2(x^2 - 3x) + 40$. Сделаем замену $t = x^2 - 3x$.

Уравнение примет вид: $\sqrt{2t + 40} = t + 8$

Решим это иррациональное уравнение. Правая часть должна быть неотрицательной: $t + 8 \ge 0$, то есть $t \ge -8$. При этом условии возведем обе части в квадрат: $2t + 40 = (t + 8)^2$ $2t + 40 = t^2 + 16t + 64$ $t^2 + 14t + 24 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -2$ и $t_2 = -12$. Проверим условие $t \ge -8$. $t_1 = -2$ подходит, а $t_2 = -12$ не подходит, являясь посторонним корнем. Итак, $t = -2$.

Выполним обратную замену: $x^2 - 3x = -2$ $x^2 - 3x + 2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Так как при $t=-2$ правая часть исходного уравнения, равная $t+8=6$, положительна, и подкоренное выражение $2t+40=36$ также положительно, то найденные значения $x$ являются решениями.

Ответ: $1; 2$.

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$

Преобразуем первое слагаемое: $5x^2 + 10x = 5(x^2 + 2x)$. Введем замену $t = \sqrt{x^2 + 2x - 15}$, где $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 + 2x - 15$, откуда $x^2 + 2x = t^2 + 15$. Тогда $5(x^2 + 2x) = 5(t^2 + 15) = 5t^2 + 75$.

Подставим в исходное уравнение: $(5t^2 + 75) + t = 123$ $5t^2 + t - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$: $D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-48) = 1 + 960 = 961 = 31^2$. $t = \frac{-1 \pm 31}{10}$. $t_1 = \frac{30}{10} = 3$, $t_2 = \frac{-32}{10} = -3.2$.

Поскольку $t \ge 0$, корень $t_2 = -3.2$ является посторонним. Остается $t = 3$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 + 2x - 15} = 3$

Возведем обе части в квадрат: $x^2 + 2x - 15 = 9$ $x^2 + 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -6$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 + 2x - 15 \ge 0$. Корнями трехчлена являются $x = -5$ и $x = 3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [3, \infty)$. Оба найденных корня ($x_1 = 4$ и $x_2 = -6$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-6; 4$.

15.5. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y + 4\sqrt{xy} = 37; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt[4]{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 4, \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \sqrt{4-x+y} + \sqrt{9-2x+y} = 7, \\ 2y - 3x = 12. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y + 4\sqrt{xy} = 37; \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.

Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 + 4ab = 37; \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу квадрата суммы: $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

$(a+b)^2 - 2ab + 4ab = 37$

$(a+b)^2 + 2ab = 37$

Подставим в это уравнение значение $a+b=5$ из первого уравнения системы:

$5^2 + 2ab = 37$

$25 + 2ab = 37$

$2ab = 12$

$ab = 6$

Теперь мы имеем новую, более простую систему для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6; \end{cases}$

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Это дает нам два возможных случая для пары $(a, b)$:

1. $a = 2, b = 3$.

2. $a = 3, b = 2$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

1. $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$; $\sqrt{y} = 3 \implies y = 9$. Получаем решение $(4, 9)$.

2. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$; $\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$. Получаем решение $(9, 4)$.

Оба решения удовлетворяют условиям $x \ge 0, y \ge 0$. Проверим их, подставив в исходную систему. Оба решения подходят.

Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8; \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 3, \\ a^3 b^3 = 8; \end{cases}$

Из второго уравнения получаем $(ab)^3 = 8$, откуда $ab = \sqrt[3]{8} = 2$.

Теперь мы имеем систему для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 3, \\ ab = 2; \end{cases}$

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Это дает нам два возможных случая для пары $(a, b)$:

1. $a = 1, b = 2$.

2. $a = 2, b = 1$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

1. $\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$; $\sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 2^3 = 8$. Получаем решение $(1, 8)$.

2. $\sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8$; $\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$. Получаем решение $(8, 1)$.

Проверка показывает, что оба решения верны.

Ответ: $(1, 8), (8, 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[4]{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 4, \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{cases}$

Область допустимых значений: $x+y \ge 0, x-y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[4]{x+y}$ и $b = \sqrt[4]{x-y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x+y} = a^2$ и $\sqrt{x-y} = b^2$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 4, \\ a^2 - b^2 = 8; \end{cases}$

Разложим второе уравнение на множители: $(a-b)(a+b) = 8$.

Подставим в это уравнение значение $a+b=4$ из первого уравнения:

$(a-b) \cdot 4 = 8$

$a-b = 2$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 4, \\ a - b = 2; \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(a+b) + (a-b) = 4+2$, что дает $2a = 6$, откуда $a=3$.

Подставим $a=3$ в первое уравнение: $3+b=4$, откуда $b=1$.

Найденные значения $a=3, b=1$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x+y} = 3 \implies x+y = 3^4 = 81$.

$\sqrt[4]{x-y} = 1 \implies x-y = 1^4 = 1$.

Получаем новую систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x + y = 81, \\ x - y = 1; \end{cases}$

Сложим эти уравнения: $2x = 82 \implies x = 41$.

Подставим $x=41$ в первое уравнение: $41+y=81 \implies y = 40$.

Полученное решение $(41, 40)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(41, 40)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{4-x+y} + \sqrt{9-2x+y} = 7, \\ 2y - 3x = 12; \end{cases}$

Область допустимых значений: $4-x+y \ge 0$ и $9-2x+y \ge 0$.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x + 12 \implies y = \frac{3}{2}x + 6$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sqrt{4-x+(\frac{3}{2}x+6)} + \sqrt{9-2x+(\frac{3}{2}x+6)} = 7$

$\sqrt{10+\frac{1}{2}x} + \sqrt{15-\frac{1}{2}x} = 7$

Чтобы упростить уравнение, введем замену $t = \frac{1}{2}x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{10+t} + \sqrt{15-t} = 7$

ОДЗ для $t$: $10+t \ge 0 \implies t \ge -10$ и $15-t \ge 0 \implies t \le 15$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{10+t} + \sqrt{15-t})^2 = 7^2$

$(10+t) + 2\sqrt{(10+t)(15-t)} + (15-t) = 49$

$25 + 2\sqrt{150+5t-t^2} = 49$

$2\sqrt{150+5t-t^2} = 24$

$\sqrt{150+5t-t^2} = 12$

Снова возведем в квадрат:

$150+5t-t^2 = 144$

$t^2-5t-6 = 0$

Решая квадратное уравнение, находим корни $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$ ($-10 \le t \le 15$). Проверка подстановкой в уравнение $\sqrt{10+t} + \sqrt{15-t} = 7$ показывает, что оба корня подходят.

Теперь найдем $x$ и $y$ для каждого значения $t$.

1. Если $t=6$, то $\frac{1}{2}x = 6 \implies x=12$.

$y = \frac{3}{2}(12) + 6 = 18+6=24$. Получаем решение $(12, 24)$.

2. Если $t=-1$, то $\frac{1}{2}x = -1 \implies x=-2$.

$y = \frac{3}{2}(-2) + 6 = -3+6=3$. Получаем решение $(-2, 3)$.

Проверка подстановкой в исходную систему подтверждает, что оба решения верны.

Ответ: $(12, 24), (-2, 3)$.

15.6. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sqrt[3]{x + 2y} + \sqrt[3]{x - y + 2} = 3, \\ 2x + y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.

Подставим новые переменные в систему:

$$ \begin{cases} a - b = 2, \\ a^3 b^3 = 27 \end{cases} $$

Из второго уравнения $(ab)^3 = 27$ следует, что $ab = \sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} a - b = 2, \\ ab = 3 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a = b + 2$ и подставим во второе:

$(b + 2)b = 3$

$b^2 + 2b - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $b$. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $b_1 = 1$, $b_2 = -3$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $b = 1$, то $a = 1 + 2 = 3$.

Тогда $x = a^3 = 3^3 = 27$ и $y = b^3 = 1^3 = 1$.

Проверка: $\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1} = 3 - 1 = 2$; $27 \cdot 1 = 27$. Решение $(27, 1)$ подходит.

2. Если $b = -3$, то $a = -3 + 2 = -1$.

Тогда $x = a^3 = (-1)^3 = -1$ и $y = b^3 = (-3)^3 = -27$.

Проверка: $\sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{-27} = -1 - (-3) = 2$; $(-1) \cdot (-27) = 27$. Решение $(-1, -27)$ подходит.

Ответ: $(27; 1), (-1; -27)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 5 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратных корней и дробей, подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны быть равны нулю. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть одного знака. Из второго уравнения $x+y=5$ следует, что они оба должны быть положительными, т.е. $x > 0, y > 0$.

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$. Так как $x, y > 0$, то $t > 0$.

Первое уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (поскольку $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.

Оба корня положительны, поэтому подходят. Вернемся к исходным переменным.

1. Случай $t = 2$:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \implies \frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$.

Подставим это во второе уравнение системы:

$4y + y = 5 \implies 5y = 5 \implies y = 1$.

Тогда $x = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(4, 1)$.

2. Случай $t = \frac{1}{2}$:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{y} = \frac{1}{4} \implies y = 4x$.

Подставим это во второе уравнение системы:

$x + 4x = 5 \implies 5x = 5 \implies x = 1$.

Тогда $y = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(1, 4)$.

Ответ: $(4; 1), (1; 4)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x+2y} + \sqrt[3]{x-y+2} = 3, \\ 2x + y = 7 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x+2y}$ и $v = \sqrt[3]{x-y+2}$.

Первое уравнение примет вид: $u+v = 3$.

Возведем замены в куб: $u^3 = x+2y$ и $v^3 = x-y+2$.

Выразим $y$ из второго уравнения исходной системы: $y = 7-2x$.

Подставим это выражение в $u^3$ и $v^3$:

$u^3 = x + 2(7-2x) = x + 14 - 4x = 14 - 3x$.

$v^3 = x - (7-2x) + 2 = x - 7 + 2x + 2 = 3x - 5$.

Теперь сложим полученные выражения для $u^3$ и $v^3$:

$u^3 + v^3 = (14 - 3x) + (3x - 5) = 9$.

Получили систему для $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u+v = 3, \\ u^3 + v^3 = 9 \end{cases} $$

Используем формулу суммы кубов: $u^3+v^3 = (u+v)(u^2-uv+v^2)$.

$9 = 3(u^2-uv+v^2) \implies u^2-uv+v^2 = 3$.

Также можно записать $u^2-uv+v^2 = (u+v)^2 - 3uv$.

$3 = 3^2 - 3uv \implies 3 = 9 - 3uv \implies 3uv = 6 \implies uv = 2$.

Решаем систему для $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u+v = 3, \\ uv = 2 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1=1, t_2=2$.

Таким образом, возможны два случая:

1. $u=1, v=2$.

Возвращаемся к $x$: $u^3 = 14-3x \implies 1^3 = 14-3x \implies 3x = 13 \implies x = \frac{13}{3}$.

Тогда $y = 7-2x = 7 - 2 \cdot \frac{13}{3} = 7 - \frac{26}{3} = \frac{21-26}{3} = -\frac{5}{3}$.

Получили решение $(\frac{13}{3}; -\frac{5}{3})$.

2. $u=2, v=1$.

Возвращаемся к $x$: $u^3 = 14-3x \implies 2^3 = 14-3x \implies 8 = 14-3x \implies 3x = 6 \implies x=2$.

Тогда $y = 7-2x = 7 - 2 \cdot 2 = 7-4=3$.

Получили решение $(2; 3)$.

Ответ: $(\frac{13}{3}; -\frac{5}{3}), (2; 3)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{3x-2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x-2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) требует, чтобы выражения под корнями были положительными (равенство нулю исключается, так как они в знаменателе): $\frac{3x-2y}{2x} > 0$.

Введем замену $t = \sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}$. Поскольку выражение под корнем положительно, $t > 0$.

Первое уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $t=1$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}} = 1$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{3x-2y}{2x} = 1$

$3x-2y = 2x$

$x = 2y$

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$x^2 - 8y^2 + 18y - 18 = 0$

$(2y)^2 - 8y^2 + 18y - 18 = 0$

$4y^2 - 8y^2 + 18y - 18 = 0$

$-4y^2 + 18y - 18 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$2y^2 - 9y + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни: $y_1 = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $y_2 = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

1. Если $y = 3$, то $x = 2y = 2 \cdot 3 = 6$.

Проверим ОДЗ: $\frac{3(6)-2(3)}{2(6)} = \frac{18-6}{12} = \frac{12}{12} = 1 > 0$. Решение $(6; 3)$ подходит.

2. Если $y = \frac{3}{2}$, то $x = 2y = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.

Проверим ОДЗ: $\frac{3(3)-2(3/2)}{2(3)} = \frac{9-3}{6} = \frac{6}{6} = 1 > 0$. Решение $(3; \frac{3}{2})$ подходит.

Ответ: $(6; 3), (3; \frac{3}{2})$.

15.7. Решите уравнение $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}=4-2x$.

Запишем исходное уравнение:$ \sqrt{x-1+x+3+2\sqrt{(x-1)(x+3)}} = 4-2x $

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Выражения под внутренними корнями должны быть неотрицательными:$ x-1 \geq 0 \implies x \geq 1 $$ x+3 \geq 0 \implies x \geq -3 $

2. Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:$ 4-2x \geq 0 \implies 4 \geq 2x \implies x \leq 2 $

Объединяя все условия ($x \geq 1$, $x \geq -3$ и $x \leq 2$), получаем ОДЗ: $ x \in [1, 2] $.

Теперь упростим левую часть уравнения. Заметим, что выражение под внешним корнем напоминает формулу квадрата суммы: $a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$. Пусть $ a = \sqrt{x-1} $ и $ b = \sqrt{x+3} $. Тогда:$ a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1 $$ b^2 = (\sqrt{x+3})^2 = x+3 $$ 2ab = 2\sqrt{x-1}\sqrt{x+3} = 2\sqrt{(x-1)(x+3)} $

Подставив это в левую часть уравнения, получаем:$ \sqrt{(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)}} = \sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + (\sqrt{x+3})^2 + 2\sqrt{x-1}\sqrt{x+3}} $Это в точности соответствует правой части формулы квадрата суммы:$ \sqrt{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2} $

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:$ \sqrt{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2} = 4-2x $Поскольку выражение $ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} $ является суммой арифметических корней, оно всегда неотрицательно. Поэтому, извлекая корень, мы получаем:$ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = 4-2x $

Для решения этого уравнения рассмотрим функции в левой и правой частях на ОДЗ $ x \in [1, 2] $.Let $ f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} $. Эта функция является суммой двух возрастающих функций, а значит, $f(x)$ — строго возрастающая функция на отрезке $[1, 2]$.Let $ g(x) = 4-2x $. Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-2$), следовательно, $g(x)$ — строго убывающая функция.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня. Попробуем найти этот корень методом подбора, проверив целочисленные значения из ОДЗ. Проверим $ x=1 $:Левая часть: $ f(1) = \sqrt{1-1} + \sqrt{1+3} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 0 + 2 = 2 $. Правая часть: $ g(1) = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2 $. Левая часть равна правой, следовательно, $ x=1 $ является корнем уравнения.

Поскольку мы установили, что уравнение не может иметь более одного корня, $ x=1 $ является единственным решением.

Ответ: $1$

15.8. Решите уравнение $x + \sqrt{(x+6)(x-2)} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$.

Решим уравнение $x + \sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 2 + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2 $

При $x \ge 2$ условие $(x+6)(x-2) \ge 0$ также выполняется, так как оба множителя неотрицательны. Следовательно, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

На ОДЗ справедливо тождество $\sqrt{(x+6)(x-2)} = \sqrt{x+6}\sqrt{x-2}$. Подставим это в уравнение:

$x + \sqrt{x+6}\sqrt{x-2} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их для дальнейшего разложения на множители:

$(x-2) - \sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}\sqrt{x-2} - \sqrt{x+6} = 0$

Заметим, что $x-2 = (\sqrt{x-2})^2$. Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} - 1) + \sqrt{x+6}(\sqrt{x-2} - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{x-2} - 1)$ за скобки:

$(\sqrt{x-2} - 1)(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.

1. $\sqrt{x-2} - 1 = 0$.

$\sqrt{x-2} = 1$.

Возведя обе части в квадрат, получим $x-2 = 1$, откуда $x=3$. Этот корень принадлежит ОДЗ ($3 \ge 2$).

2. $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0$.

Поскольку квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательной величиной, сумма двух корней может быть равна нулю только если оба корня равны нулю. Однако, если $\sqrt{x-2}=0$, то $x=2$, а если $\sqrt{x+6}=0$, то $x=-6$. Эти условия противоречат друг другу. Более того, на ОДЗ ($x \ge 2$) имеем $\sqrt{x-2} \ge 0$ и $\sqrt{x+6} \ge \sqrt{8} > 0$, поэтому их сумма всегда строго положительна. Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=3$. Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{(3+6)(3-2)} = 2 + \sqrt{3+6} + \sqrt{3-2}$

$3 + \sqrt{9 \cdot 1} = 2 + \sqrt{9} + \sqrt{1}$

$3 + 3 = 2 + 3 + 1$

$6 = 6$

Равенство верное, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $3$.

15.9. Решите уравнение
$\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16.$

Данное уравнение:

$ \sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16 $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases}2x+3 \ge 0 \\x+1 \ge 0 \\2x^2+5x+3 \ge 0\end{cases}$

Решим систему неравенств:

1) $2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$

2) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

3) $2x^2+5x+3 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2+5x+3=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{4}$, то есть $x_1 = -1$ и $x_2 = -1.5$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1.5] \cup [-1, \infty)$.

Пересечение всех трех условий дает ОДЗ: $x \ge -1$.

Заметим, что подкоренное выражение $2x^2+5x+3$ является произведением двух других подкоренных выражений: $(2x+3)(x+1) = 2x^2+2x+3x+3 = 2x^2+5x+3$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ \sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{(2x+3)(x+1)} - 16 $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{2x+3}$ и $b = \sqrt{x+1}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$ a + b = 3x + 2ab - 16 $

Выразим $3x$ через $a$ и $b$.

$ a^2 = 2x+3 $

$ b^2 = x+1 $

Сложим эти два равенства: $a^2 + b^2 = (2x+3) + (x+1) = 3x+4$. Отсюда $3x = a^2+b^2-4$.

Подставим выражение для $3x$ в уравнение с новыми переменными:

$ a+b = (a^2+b^2-4) + 2ab - 16 $

$ a+b = a^2+2ab+b^2 - 20 $

Справа мы видим формулу полного квадрата: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.

$ a+b = (a+b)^2 - 20 $

Сделаем еще одну замену: пусть $y = a+b$.

$ y = y^2 - 20 $

$ y^2 - y - 20 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=5$ и $y_2=-4$.

Таким образом, мы имеем два случая:

1) $a+b = 5$

2) $a+b = -4$

Так как $a = \sqrt{2x+3} \ge 0$ и $b = \sqrt{x+1} \ge 0$, их сумма не может быть отрицательной. Следовательно, случай $a+b = -4$ невозможен.

Остается решить уравнение $a+b = 5$. Сделаем обратную замену:

$ \sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 5 $

Уединим один из корней и возведем обе части в квадрат:

$ \sqrt{2x+3} = 5 - \sqrt{x+1} $

$ (\sqrt{2x+3})^2 = (5 - \sqrt{x+1})^2 $

$ 2x+3 = 25 - 10\sqrt{x+1} + (x+1) $

$ 2x+3 = 26 + x - 10\sqrt{x+1} $

Снова уединим корень:

$ 10\sqrt{x+1} = 26 + x - 2x - 3 $

$ 10\sqrt{x+1} = 23-x $

Возведем обе части в квадрат. При этом необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $23-x \ge 0$, то есть $x \le 23$.

$ (10\sqrt{x+1})^2 = (23-x)^2 $

$ 100(x+1) = 529 - 46x + x^2 $

$ 100x+100 = 529 - 46x + x^2 $

$ x^2 - 146x + 429 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-146)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 429 = 21316 - 1716 = 19600 = 140^2$.

$ x_1 = \frac{146 + 140}{2} = \frac{286}{2} = 143 $

$ x_2 = \frac{146 - 140}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

Проверим найденные корни.

Корень $x_1 = 143$ не удовлетворяет условию $x \le 23$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$) и условию $3 \le 23$.

Сделаем проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

Левая часть: $ \sqrt{2(3)+3} + \sqrt{3+1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5 $.

Правая часть: $ 3(3) + 2\sqrt{2(3)^2+5(3)+3} - 16 = 9 + 2\sqrt{18+15+3} - 16 = 9 + 2\sqrt{36} - 16 = 9 + 12 - 16 = 5 $.

$5 = 5$. Равенство верное, значит $x=3$ является решением уравнения.

Ответ: $3$.

15.10. Решите уравнение $ \frac{x^2}{\sqrt{2x+5}} + \sqrt{2x+5} = 2x $.

Исходное уравнение:

$$ \frac{x^2}{\sqrt{2x + 5}} + \sqrt{2x + 5} = 2x $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$$ 2x + 5 > 0 \implies 2x > -5 \implies x > -2.5 $$

Левая часть уравнения является суммой двух положительных слагаемых, так как $x^2$ на ОДЗ не может быть равно нулю (если $x=0$, то $0 + \sqrt{5} = 0$, что неверно) и $\sqrt{2x+5} > 0$. Следовательно, левая часть всегда положительна. Это означает, что и правая часть уравнения должна быть положительной:

$$ 2x > 0 \implies x > 0 $$

Объединяя условия $x > -2.5$ и $x > 0$, получаем итоговую ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразуем уравнение.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $\sqrt{2x + 5}$, который в области допустимых значений всегда положителен. Это преобразование является равносильным.

$$ \frac{x^2}{\sqrt{2x + 5}} \cdot \sqrt{2x + 5} + \sqrt{2x + 5} \cdot \sqrt{2x + 5} = 2x \cdot \sqrt{2x + 5} $$

$$ x^2 + (2x + 5) = 2x \sqrt{2x + 5} $$

3. Решим полученное уравнение.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$$ x^2 - 2x \sqrt{2x + 5} + (2x + 5) = 0 $$

Заметим, что левая часть представляет собой формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = \sqrt{2x + 5}$.

Свернем выражение по этой формуле:

$$ (x - \sqrt{2x + 5})^2 = 0 $$

Это уравнение равносильно следующему:

$$ x - \sqrt{2x + 5} = 0 $$

$$ x = \sqrt{2x + 5} $$

4. Решим иррациональное уравнение.

Так как согласно ОДЗ $x > 0$, обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:

$$ x^2 = (\sqrt{2x + 5})^2 $$

$$ x^2 = 2x + 5 $$

Получили квадратное уравнение:

$$ x^2 - 2x - 5 = 0 $$

Найдем его корни через дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $$

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} $$

Мы получили два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{6}$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Наше ОДЗ: $x > 0$.

Корень $x_1 = 1 + \sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} > 0$, то $1 + \sqrt{6} > 1$, что удовлетворяет условию $x > 0$.

Корень $x_2 = 1 - \sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $1 - \sqrt{6} < 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1 + \sqrt{6}$.

15.11. Решите уравнение $4x^2 + 12x\sqrt{1+x} = 27(1+x)$.

Исходное уравнение:

$4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} = 27(1 + x)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

2. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} - 27(1 + x) = 0$

3. Заметим, что это уравнение является однородным относительно выражений $2x$ и $\sqrt{1+x}$. Однако, более простой способ решения — выделить полный квадрат. Представим $4x^2$ как $(2x)^2$ и $12x\sqrt{1+x}$ как $2 \cdot (2x) \cdot (3\sqrt{1+x})$.

Дополним левую часть до полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2x$ и $b=3\sqrt{1+x}$:

$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3\sqrt{1+x}) + (3\sqrt{1+x})^2 - (3\sqrt{1+x})^2 - 27(1+x) = 0$

Свернем первые три слагаемых по формуле квадрата суммы:

$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 - 9(1+x) - 27(1+x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 - 36(1+x) = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$(2x + 3\sqrt{1+x})^2 = 36(1+x)$

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как по ОДЗ $1+x \ge 0$, то $\sqrt{36(1+x)} = 6\sqrt{1+x}$.

$2x + 3\sqrt{1+x} = \pm 6\sqrt{1+x}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2x + 3\sqrt{1+x} = 6\sqrt{1+x}$

$2x = 6\sqrt{1+x} - 3\sqrt{1+x}$

$2x = 3\sqrt{1+x}$

Для решения этого уравнения необходимо возвести обе части в квадрат. Правая часть $3\sqrt{1+x}$ неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.

Возводим в квадрат:

$(2x)^2 = (3\sqrt{1+x})^2$

$4x^2 = 9(1+x)$

$4x^2 - 9x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$

$x_1 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

$x_2 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Проверяем корни по условию $x \ge 0$. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -3/4$ не удовлетворяет условию.

Случай 2: $2x + 3\sqrt{1+x} = -6\sqrt{1+x}$

$2x = -6\sqrt{1+x} - 3\sqrt{1+x}$

$2x = -9\sqrt{1+x}$

Правая часть $-9\sqrt{1+x}$ неположительна, следовательно, левая часть также должна быть неположительной: $2x \le 0 \Rightarrow x \le 0$. Учитывая ОДЗ ($x \ge -1$), получаем условие $-1 \le x \le 0$.

Возводим в квадрат:

$(2x)^2 = (-9\sqrt{1+x})^2$

$4x^2 = 81(1+x)$

$4x^2 - 81x - 81 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-81)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-81) = 81^2 + 16 \cdot 81 = 81(81+16) = 81 \cdot 97$

$\sqrt{D} = \sqrt{81 \cdot 97} = 9\sqrt{97}$

$x_3 = \frac{81 + 9\sqrt{97}}{8}$

$x_4 = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$

Проверяем корни по условию $-1 \le x \le 0$.

Корень $x_3 = \frac{81 + 9\sqrt{97}}{8}$ является положительным числом, так что он не удовлетворяет условию $x \le 0$.

Для корня $x_4 = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$ оценим его значение. Так как $9 < \sqrt{97} < 10$, то $81 < 9\sqrt{97} < 90$.

Значит, $81 - 90 < 81 - 9\sqrt{97} < 81 - 81$, то есть $-9 < 81 - 9\sqrt{97} < 0$.

Разделив на 8, получаем $-\frac{9}{8} < x_4 < 0$, то есть $-1.125 < x_4 < 0$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $x_4 \ge -1$.

$\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8} \ge -1 \Leftrightarrow 81 - 9\sqrt{97} \ge -8 \Leftrightarrow 89 \ge 9\sqrt{97} \Leftrightarrow \frac{89}{9} \ge \sqrt{97}$.

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $(\frac{89}{9})^2 \ge 97 \Leftrightarrow \frac{7921}{81} \ge 97 \Leftrightarrow 97\frac{64}{81} \ge 97$. Неравенство верное.

Следовательно, корень $x_4 = \frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$ удовлетворяет условию $-1 \le x \le 0$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=3$, $x=\frac{81 - 9\sqrt{97}}{8}$.

15.12. Решите уравнение $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Исходное уравнение: $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия неотрицательности подкоренного выражения: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Перепишем уравнение, сгруппировав последние два слагаемых:

$6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + (x+3) = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+3}$. По определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$. Тогда $y^2 = x+3$. После подстановки уравнение примет вид:

$6x^2 - 5xy + y^2 = 0$.

Это однородное квадратное уравнение относительно переменных $x$ и $y$. Разложим его левую часть на множители:

$6x^2 - 2xy - 3xy + y^2 = 0$

$2x(3x-y) - y(3x-y) = 0$

$(2x-y)(3x-y) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $2x - y = 0 \implies y = 2x$

2) $3x - y = 0 \implies y = 3x$

Рассмотрим каждый случай, выполнив обратную замену $y = \sqrt{x+3}$.

1. $y = 2x$

Получаем иррациональное уравнение $\sqrt{x+3} = 2x$.

Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, правая также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. С учетом ОДЗ, получаем общее ограничение $x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$x+3 = (2x)^2 \implies 4x^2 - x - 3 = 0$.

Находим корни квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4(4)(-3) = 49$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

Получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$.

Проверяем по ограничению $x \ge 0$. Корень $x_1 = 1$ подходит. Корень $x_2 = -\frac{3}{4}$ не подходит, следовательно, является посторонним.

2. $y = 3x$

Получаем уравнение $\sqrt{x+3} = 3x$.

Аналогично, требуем неотрицательность правой части: $3x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$x+3 = (3x)^2 \implies 9x^2 - x - 3 = 0$.

Находим корни: $D = (-1)^2 - 4(9)(-3) = 1 + 108 = 109$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{109}}{18}$.

Получаем два корня: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$.

Проверяем по ограничению $x \ge 0$. Корень $x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$ является положительным и подходит. Корень $x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$ является отрицательным (так как $\sqrt{109} > 1$), поэтому не подходит и является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения.

Ответ: $1; \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$.

15.13. Решите уравнение $ \sqrt[3]{(x+3)^2} + \sqrt[3]{(6-x)^2} - \sqrt[3]{(x+3)(6-x)} = 3. $

Для решения данного уравнения $\sqrt[3]{(x + 3)^2} + \sqrt[3]{(6 - x)^2} - \sqrt[3]{(x + 3)(6 - x)} = 3$ введем замену переменных.

Пусть $a = \sqrt[3]{x + 3}$ и $b = \sqrt[3]{6 - x}$.

Тогда уравнение примет вид:

$$ a^2 + b^2 - ab = 3 $$

Найдем еще одно соотношение между переменными $a$ и $b$. Для этого возведем их в куб и сложим:

$$ a^3 = (\sqrt[3]{x + 3})^3 = x + 3 $$

$$ b^3 = (\sqrt[3]{6 - x})^3 = 6 - x $$

Сложив эти два выражения, получим:

$$ a^3 + b^3 = (x + 3) + (6 - x) = 9 $$

Таким образом, мы получили систему уравнений с переменными $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a^2 + b^2 - ab = 3 \\ a^3 + b^3 = 9 \end{cases} $$

Воспользуемся формулой суммы кубов для второго уравнения: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставим в нее известные значения из нашей системы:

$$ 9 = (a + b) \cdot 3 $$

Отсюда следует, что $a + b = 3$.

Теперь мы можем решить систему, подставив $b = 3 - a$ в первое уравнение $a^2 + b^2 - ab = 3$:

$$ a^2 + (3 - a)^2 - a(3 - a) = 3 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ a^2 + (9 - 6a + a^2) - (3a - a^2) = 3 $$

$$ a^2 + 9 - 6a + a^2 - 3a + a^2 = 3 $$

$$ 3a^2 - 9a + 9 = 3 $$

$$ 3a^2 - 9a + 6 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 3:

$$ a^2 - 3a + 2 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его корнями, по теореме Виета, являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$ и вернемся к переменной $x$, рассмотрев два случая.

1. Если $a = 1$, то $b = 3 - a = 3 - 1 = 2$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x + 3} = 1$.

Возведем обе части в куб: $x + 3 = 1^3$, откуда $x + 3 = 1$, и $x = -2$.

Проверим, выполняется ли при этом $x$ условие для $b$: $\sqrt[3]{6 - (-2)} = \sqrt[3]{8} = 2$. Условие выполняется.

2. Если $a = 2$, то $b = 3 - a = 3 - 2 = 1$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x + 3} = 2$.

Возведем обе части в куб: $x + 3 = 2^3$, откуда $x + 3 = 8$, и $x = 5$.

Проверим, выполняется ли при этом $x$ условие для $b$: $\sqrt[3]{6 - 5} = \sqrt[3]{1} = 1$. Условие выполняется.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 5$.

15.14. Решите уравнение

$\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{(x-5)^2} + \sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = 3.$

Для решения данного уравнения введем замену переменных. Пусть:

$a = \sqrt[3]{x+4}$

$b = \sqrt[3]{x-5}$

Тогда исходное уравнение можно переписать, используя новые переменные:

$\sqrt[3]{(x+4)^2} = (\sqrt[3]{x+4})^2 = a^2$

$\sqrt[3]{(x-5)^2} = (\sqrt[3]{x-5})^2 = b^2$

$\sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = \sqrt[3]{x+4} \cdot \sqrt[3]{x-5} = ab$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$a^2 + ab + b^2 = 3$

Теперь найдем еще одно соотношение между переменными $a$ и $b$. Возведем в куб выражения для $a$ и $b$:

$a^3 = x+4$

$b^3 = x-5$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:

$a^3 - b^3 = (x+4) - (x-5) = x+4-x+5 = 9$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a^2 + ab + b^2 = 3 \\ a^3 - b^3 = 9 \end{cases}$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ ко второму уравнению системы.

Подставим известные значения из системы в эту формулу:

$9 = (a-b) \cdot 3$

Отсюда следует, что:

$a-b = \frac{9}{3} = 3$

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$\begin{cases} a-b=3 \\ a^2+ab+b^2=3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$: $a = b+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(b+3)^2 + (b+3)b + b^2 = 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^2 + 6b + 9 + b^2 + 3b + b^2 = 3$

$3b^2 + 9b + 9 = 3$

$3b^2 + 9b + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$b^2 + 3b + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Следовательно, корни:

$b_1 = -1$

$b_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого значения $b$, используя формулу $a = b+3$.

1. Если $b_1 = -1$, то $a_1 = -1 + 3 = 2$.

2. Если $b_2 = -2$, то $a_2 = -2 + 3 = 1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(2, -1)$ и $(1, -2)$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $a=2, b=-1$.

Возьмем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$\sqrt[3]{x+4} = 2$

$x+4 = 2^3$

$x+4 = 8$

$x = 4$

Проверка по $b$: $\sqrt[3]{4-5} = \sqrt[3]{-1} = -1$, что соответствует значению $b_1$. Значит, $x=4$ — корень уравнения.

Случай 2: $a=1, b=-2$.

Возьмем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$\sqrt[3]{x+4} = 1$

$x+4 = 1^3$

$x+4 = 1$

$x = -3$

Проверка по $b$: $\sqrt[3]{-3-5} = \sqrt[3]{-8} = -2$, что соответствует значению $b_2$. Значит, $x=-3$ — также корень уравнения.

Ответ: $-3; 4$.

15.15. Решите уравнение $\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2$.

Для решения уравнения $\sqrt[4]{x+8} - \sqrt[4]{x-8} = 2$ выполним следующие шаги.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Поскольку в уравнении присутствуют корни четвертой (четной) степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ x-8 \ge 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \ge -8 \\ x \ge 8 \end{cases} \implies x \ge 8$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [8, +\infty)$.

2. Введем замену переменных

Пусть $a = \sqrt[4]{x+8}$ и $b = \sqrt[4]{x-8}$.

Заметим, что по определению арифметического корня $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

С учетом замены исходное уравнение примет вид:

$a - b = 2$

3. Составим и решим систему уравнений

Чтобы получить второе уравнение для связи переменных $a$ и $b$, возведем их в четвертую степень:

$a^4 = x+8$
$b^4 = x-8$

Вычтем второе равенство из первого:

$a^4 - b^4 = (x+8) - (x-8) = 16$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

$\begin{cases} a - b = 2 \\ a^4 - b^4 = 16 \end{cases}$

Разложим левую часть второго уравнения по формуле разности квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2) = 16$

Подставим $a-b=2$ из первого уравнения:

$2(a+b)(a^2+b^2) = 16$

$(a+b)(a^2+b^2) = 8$

Из первого уравнения системы выразим $a = b+2$ и подставим в полученное уравнение:

$((b+2)+b)((b+2)^2+b^2) = 8$

$(2b+2)(b^2+4b+4+b^2) = 8$

$2(b+1)(2b^2+4b+4) = 8$

$4(b+1)(b^2+2b+2) = 8$

$(b+1)(b^2+2b+2) = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^3 + 2b^2 + 2b + b^2 + 2b + 2 = 2$

$b^3 + 3b^2 + 4b = 0$

$b(b^2 + 3b + 4) = 0$

Это уравнение дает два случая:

1) $b=0$.

2) $b^2 + 3b + 4 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Поскольку $D < 0$, действительных корней нет.

Таким образом, единственное действительное решение для $b$ это $b=0$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = b+2 = 0+2 = 2$.

4. Выполним обратную замену

Мы получили $a=2$ и $b=0$. Вернемся к переменной $x$, используя, например, замену для $b$:

$b = \sqrt[4]{x-8} = 0$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x-8 = 0^4$

$x-8 = 0$

$x = 8$

5. Проверим найденный корень

Корень $x=8$ принадлежит ОДЗ ($x \ge 8$).

Подставим его в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{8+8} - \sqrt[4]{8-8} = \sqrt[4]{16} - \sqrt[4]{0} = 2 - 0 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $8$.

15.16. Решите уравнение $ \sqrt[4]{18+5x} + \sqrt[4]{64-5x} = 4 $.

Данное уравнение: $\sqrt[4]{18 + 5x} + \sqrt[4]{64 - 5x} = 4$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как корни имеют четную степень (4), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$18 + 5x \ge 0 \implies 5x \ge -18 \implies x \ge -\frac{18}{5} \implies x \ge -3.6$.

$64 - 5x \ge 0 \implies 64 \ge 5x \implies x \le \frac{64}{5} \implies x \le 12.8$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3.6; 12.8]$.

Для решения уравнения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[4]{18 + 5x}$ и $b = \sqrt[4]{64 - 5x}$. Поскольку мы имеем дело с арифметическими корнями, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

С учетом замены исходное уравнение принимает вид:

$a + b = 4$.

Чтобы получить второе уравнение для связи переменных $a$ и $b$, возведем их в четвертую степень:

$a^4 = (\sqrt[4]{18 + 5x})^4 = 18 + 5x$

$b^4 = (\sqrt[4]{64 - 5x})^4 = 64 - 5x$

Теперь сложим эти два выражения, чтобы исключить $x$:

$a^4 + b^4 = (18 + 5x) + (64 - 5x) = 18 + 64 = 82$.

В результате мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ a^4 + b^4 = 82 \end{cases}$

Выразим $a^4 + b^4$ через элементарные симметрические многочлены $a+b$ и $ab$:

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 4^2 - 2ab = 16 - 2ab$.

$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (16 - 2ab)^2 - 2(ab)^2$.

Подставим это выражение в наше второе уравнение системы:

$(16 - 2ab)^2 - 2(ab)^2 = 82$.

Пусть $p = ab$. Тогда уравнение примет вид:

$(16 - 2p)^2 - 2p^2 = 82$

$256 - 64p + 4p^2 - 2p^2 = 82$

$2p^2 - 64p + 174 = 0$

Разделим обе части на 2:

$p^2 - 32p + 87 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $p$ с помощью дискриминанта:

$D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 87 = 1024 - 348 = 676 = 26^2$.

Корни уравнения:

$p_1 = \frac{32 - 26}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$p_2 = \frac{32 + 26}{2} = \frac{58}{2} = 29$.

Теперь рассмотрим два случая для $ab$.

1. Если $ab = 29$. Учитывая, что $a+b=4$, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 29 = 0$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 16 - 116 = -100 < 0$, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Этот случай не дает решений.

2. Если $ab = 3$. Учитывая, что $a+b=4$, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. Это уравнение можно разложить на множители $(t-1)(t-3)=0$, откуда $t_1=1$ и $t_2=3$. Таким образом, возможны две пары значений для $(a, b)$: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Вернемся к переменной $x$, рассмотрев обе возможные пары.

Первый вариант: $a=1, b=3$.

$\sqrt[4]{18 + 5x} = 1 \implies 18 + 5x = 1^4 \implies 18 + 5x = 1 \implies 5x = -17 \implies x = -\frac{17}{5} = -3.4$.

Проверим для $b$: $\sqrt[4]{64 - 5(-\frac{17}{5})} = \sqrt[4]{64+17} = \sqrt[4]{81} = 3$. Все верно. Корень $x=-3.4$ входит в ОДЗ $[-3.6; 12.8]$.

Второй вариант: $a=3, b=1$.

$\sqrt[4]{18 + 5x} = 3 \implies 18 + 5x = 3^4 \implies 18 + 5x = 81 \implies 5x = 63 \implies x = \frac{63}{5} = 12.6$.

Проверим для $b$: $\sqrt[4]{64 - 5(\frac{63}{5})} = \sqrt[4]{64-63} = \sqrt[4]{1} = 1$. Все верно. Корень $x=12.6$ входит в ОДЗ $[-3.6; 12.8]$.

Таким образом, уравнение имеет два решения.

Ответ: $-\frac{17}{5}; \frac{63}{5}$.

15.17. Решите уравнение $ \sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x-1} = 5. $

Для решения уравнения $\sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x-1} = 5$ выполним следующие шаги.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$. Выражение под знаком кубического корня определено для любого действительного числа. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Для упрощения уравнения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x-2}$ и $b = \sqrt{x-1}$. Так как $b$ является арифметическим квадратным корнем, $b \ge 0$.

С новыми переменными исходное уравнение принимает вид:

$a + b = 5$

Теперь установим связь между переменными $a$ и $b$. Выразим $x$ из каждой замены:

Из $a = \sqrt[3]{x-2}$ следует $a^3 = x - 2 \implies x = a^3 + 2$.

Из $b = \sqrt{x-1}$ следует $b^2 = x - 1 \implies x = b^2 + 1$.

Приравняв выражения для $x$, получим второе уравнение: $a^3 + 2 = b^2 + 1$, или $a^3 - b^2 + 1 = 0$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a^3 - b^2 + 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b = 5 - a$ и подставим во второе уравнение:

$a^3 - (5 - a)^2 + 1 = 0$

$a^3 - (25 - 10a + a^2) + 1 = 0$

$a^3 - a^2 + 10a - 24 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно $a$. Его целые корни могут быть среди делителей свободного члена (-24). Проверим $a=2$:

$2^3 - 2^2 + 10 \cdot 2 - 24 = 8 - 4 + 20 - 24 = 4 + 20 - 24 = 0$.

Поскольку равенство верное, $a=2$ является корнем уравнения. Это позволяет нам разложить многочлен на множители. Разделив $a^3 - a^2 + 10a - 24$ на $(a-2)$, получим $a^2 + a + 12$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(a - 2)(a^2 + a + 12) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $a - 2 = 0 \implies a = 2$.

2) $a^2 + a + 12 = 0$. Для этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственное действительное решение для $a$ — это $a=2$.

Теперь вернемся к переменной $x$, используя замену $a = \sqrt[3]{x-2}$:

$\sqrt[3]{x-2} = 2$

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$x - 2 = 2^3$

$x - 2 = 8$

$x = 10$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=10$ ОДЗ ($10 \ge 1$). Условие выполняется.

Выполним проверку, подставив $x=10$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{10-2} + \sqrt{10-1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.

$5 = 5$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 10.

15.18. Решите уравнение $ \sqrt[3]{2 - x} = 1 - \sqrt{x - 1} $.

Исходное уравнение:

$\sqrt[3]{2-x} = 1 - \sqrt{x-1}$

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Для решения данного иррационального уравнения удобно использовать метод введения новых переменных. Введем замены:

$a = \sqrt[3]{2-x}$

$b = \sqrt{x-1}$

По определению арифметического квадратного корня, переменная $b$ должна быть неотрицательной, то есть $b \ge 0$.

С учетом введенных замен исходное уравнение принимает вид:

$a = 1 - b$

Теперь установим еще одну связь между переменными $a$ и $b$. Для этого выразим $x$ из каждой замены. Возведем первое равенство в куб, а второе — в квадрат:

$a^3 = (\sqrt[3]{2-x})^3 \implies a^3 = 2-x$

$b^2 = (\sqrt{x-1})^2 \implies b^2 = x-1$

Сложим полученные выражения:

$a^3 + b^2 = (2-x) + (x-1)$

$a^3 + b^2 = 1$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a = 1 - b \\ a^3 + b^2 = 1 \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(1-b)^3 + b^2 = 1$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(m-n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$:

$1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot b + 3 \cdot 1 \cdot b^2 - b^3 + b^2 = 1$

$1 - 3b + 3b^2 - b^3 + b^2 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$-b^3 + 4b^2 - 3b + 1 = 1$

$-b^3 + 4b^2 - 3b = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$b^3 - 4b^2 + 3b = 0$

Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$b(b^2 - 4b + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $b = 0$

2) $b^2 - 4b + 3 = 0$. Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Следовательно, корнями являются $b_1 = 1$ и $b_2 = 3$.

Мы получили три возможных значения для $b$: $0, 1, 3$. Все они удовлетворяют условию $b \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для $b=0$:

$\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x=1$.

Для $b=1$:

$\sqrt{x-1} = 1 \implies x-1 = 1^2 \implies x-1 = 1 \implies x=2$.

Для $b=3$:

$\sqrt{x-1} = 3 \implies x-1 = 3^2 \implies x-1 = 9 \implies x=10$.

Все найденные значения $x=1, x=2, x=10$ принадлежат ОДЗ ($x \ge 1$).

Проведем проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение.

При $x=1$: левая часть $\sqrt[3]{2-1} = \sqrt[3]{1} = 1$; правая часть $1 - \sqrt{1-1} = 1 - 0 = 1$. Равенство $1=1$ верное.

При $x=2$: левая часть $\sqrt[3]{2-2} = \sqrt[3]{0} = 0$; правая часть $1 - \sqrt{2-1} = 1 - \sqrt{1} = 1-1=0$. Равенство $0=0$ верное.

При $x=10$: левая часть $\sqrt[3]{2-10} = \sqrt[3]{-8} = -2$; правая часть $1 - \sqrt{10-1} = 1 - \sqrt{9} = 1-3=-2$. Равенство $-2=-2$ верное.

Все три корня подходят.

Ответ: $1; 2; 10$.