Страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.1. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $2\sqrt{x+1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x+1}};$

2) $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12;$

3) $\sqrt{\frac{x+5}{x-1}} + 7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}} = 8;$

4) $\frac{x \sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4.$

1) $2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием подкоренного выражения и знаменателя: $x+1 > 0$, что означает $x > -1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x+1}$. Поскольку $t$ представляет собой арифметический квадратный корень и находится в знаменателе, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид:
$2t - 5 = \frac{3}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$, так как $t \ne 0$:
$2t^2 - 5t = 3$
$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Проверим найденные значения $t$ на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому это посторонний корень.
$t_2 = 3$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t=3$:
$\sqrt{x+1} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x+1 = 9$
$x = 8$

Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > -1$).

Ответ: 8

2) $x^2-x+9+\sqrt{x^2-x+9}=12$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем $x^2-x+9$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (при $x^2$) положителен, трехчлен $x^2-x+9$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2-x+9}$. По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.
Тогда $x^2-x+9 = t^2$.

Уравнение принимает вид:
$t^2 + t = 12$
$t^2 + t - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни уравнения: $t_1 = -4$ и $t_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = -4$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
$t_2 = 3$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=3$:
$\sqrt{x^2-x+9} = 3$

Возведем обе части в квадрат:
$x^2-x+9 = 9$
$x^2-x = 0$
$x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: 0; 1

3) $\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}+7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=8$

ОДЗ уравнения определяется тем, что выражения под корнями должны быть строго положительными, так как они также находятся в знаменателе друг у друга.
$\frac{x+5}{x-1} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$, $(1; +\infty)$. Определив знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+5}{x-1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-1}{x+5}} = \frac{1}{t}$. Так как $t$ - это корень из строго положительного числа, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{7}{t} = 8$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):
$t^2 + 7 = 8t$
$t^2 - 8t + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 8$
$t_1 \cdot t_2 = 7$
Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 7$. Оба корня положительны и подходят.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1. Если $t=1$:
$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}} = 1 \implies \frac{x+5}{x-1} = 1 \implies x+5 = x-1 \implies 5 = -1$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
2. Если $t=7$:
$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}} = 7 \implies \frac{x+5}{x-1} = 49 \implies x+5 = 49(x-1) \implies x+5 = 49x - 49 \implies 54 = 48x \implies x = \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$.

Проверим, принадлежит ли корень $x = \frac{9}{8}$ ОДЗ.
$x = \frac{9}{8} = 1.125$. Так как $1.125 > 1$, корень входит в ОДЗ.

Ответ: $\frac{9}{8}$

4) $\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4$

ОДЗ: знаменатели дробей не должны равняться нулю.
1. $\sqrt[3]{x^2}-1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x^2} \neq 1 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
2. $\sqrt[3]{x}+1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -1 \implies x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = t^2$ и $x\sqrt[3]{x} = (\sqrt[3]{x})^3 \cdot \sqrt[3]{x} = t^3 \cdot t = t^4$.
ОДЗ в терминах $t$: $t^2-1 \neq 0 \implies t \neq \pm 1$ и $t+1 \neq 0 \implies t \neq -1$. Итого: $t \neq \pm 1$.

Подставим замену в уравнение:
$\frac{t^4-1}{t^2-1} - \frac{t^2-1}{t+1} = 4$

Упростим дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{(t^2-1)(t^2+1)}{t^2-1} - \frac{(t-1)(t+1)}{t+1} = 4$

Сократим дроби (это возможно в силу ОДЗ):
$(t^2+1) - (t-1) = 4$
$t^2 - t + 2 = 4$
$t^2 - t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1+t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ для $t$: $t \neq \pm 1$.
$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($t \neq -1$), это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t=2$:
$\sqrt[3]{x} = 2$

Возведем обе части в куб:
$x = 2^3 = 8$

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8

15.2. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0;$

2) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0;$

3) $x^2 - x + \sqrt{x^2-x+4} = 2;$

4) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5.$

1) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Это уравнение является биквадратным относительно корня. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x+5}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x+5} = (\sqrt[4]{x+5})^2 = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = 1$:
$\sqrt[4]{x+5} = 1$
Возведем обе части в 4-ю степень:
$x+5 = 1^4$
$x+5 = 1$
$x = -4$.

2) При $t = 2$:
$\sqrt[4]{x+5} = 2$
Возведем обе части в 4-ю степень:
$x+5 = 2^4$
$x+5 = 16$
$x = 11$.

Оба найденных значения $x=-4$ и $x=11$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -5$).

Ответ: -4; 11.

2) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$

Упростим выражение под первым корнем: $9-6x+x^2 = (3-x)^2$. Тогда уравнение примет вид: $\sqrt[6]{(3-x)^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$.

ОДЗ: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Для второго слагаемого: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Для первого слагаемого $(3-x)^2$ всегда неотрицательно. Таким образом, ОДЗ: $x \le 3$.

Поскольку $3-x \ge 0$, то $\sqrt[6]{(3-x)^2} = (3-x)^{2/6} = (3-x)^{1/3} = \sqrt[3]{3-x}$. Уравнение преобразуется к виду: $\sqrt[3]{3-x} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{3-x}$. Тогда $t \ge 0$, а $\sqrt[3]{3-x} = (\sqrt[6]{3-x})^2 = t^2$. Подставим в уравнение: $t^2 + 2t - 8 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, произведение -8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$. Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1=2$.

Выполним обратную замену для $t=2$:
$\sqrt[6]{3-x} = 2$
Возведем обе части в 6-ю степень:
$3-x = 2^6$
$3-x = 64$
$x = 3 - 64$
$x = -61$.

Корень $x = -61$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$).

Ответ: -61.

3) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 4} = 2$

ОДЗ: $x^2 - x + 4 \ge 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, то $x^2 - x + 4 > 0$ для всех $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 4}$. Тогда $t \ge 0$. Возведя обе части в квадрат, получим $t^2 = x^2 - x + 4$, откуда $x^2 - x = t^2 - 4$. Подставим в исходное уравнение: $(t^2 - 4) + t = 2$.

Перенесем все члены в одну сторону и решим полученное уравнение: $t^2 + t - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение -6. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$. Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1=2$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - x + 4} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - x + 4 = 4$
$x^2 - x = 0$
$x(x-1) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня действительные, что соответствует ОДЗ.

Ответ: 0; 1.

4) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5$

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Это означает, что дроби $\frac{3x+2}{2x-3}$ и $\frac{2x-3}{3x+2}$ должны быть строго положительны. Это эквивалентно условию $\frac{3x+2}{2x-3} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим ОДЗ: $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$.

Заметим, что выражения под корнями взаимообратные. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}$. Тогда $t > 0$, а $\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид: $t + \frac{1}{t} = 2,5$.

Запишем $2,5$ как $\frac{5}{2}$ и решим уравнение: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$. Умножим обе части на $2t$ (так как $t \ne 0$): $2t^2 + 2 = 5t$ $2t^2 - 5t + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. $t = \frac{5 \pm 3}{4}$. $t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = 2$:
$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = 2$
$\frac{3x+2}{2x-3} = 4$
$3x+2 = 4(2x-3)$
$3x+2 = 8x - 12$
$14 = 5x$
$x = \frac{14}{5} = 2,8$.

2) При $t = 1/2$:
$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = \frac{1}{2}$
$\frac{3x+2}{2x-3} = \frac{1}{4}$
$4(3x+2) = 2x - 3$
$12x+8 = 2x - 3$
$10x = -11$
$x = -\frac{11}{10} = -1,1$.

Проверим найденные корни по ОДЗ: $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$. $x = 2,8$ принадлежит интервалу $(3/2; +\infty)$, так как $2,8 > 1,5$. $x = -1,1$ принадлежит интервалу $(-\infty; -2/3)$, так как $-1,1 < -0,66...$. Оба корня подходят.

Ответ: -1,1; 2,8.

15.3. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7;$

2) $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2;$

3) $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5;$

4) $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$.
Перенесем члены уравнения так, чтобы сгруппировать похожие выражения: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 - 3x - 7 = 0$.
Заметим, что выражение $x^2 - 3x$ присутствует как под корнем, так и вне его. Дополним выражение $x^2 - 3x$ до подкоренного выражения $x^2 - 3x + 5$:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} + (x^2 - 3x + 5) - 5 - 7 = 0$
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} + (x^2 - 3x + 5) - 12 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = (\sqrt{x^2 - 3x + 5})^2 = x^2 - 3x + 5$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$t + t^2 - 12 = 0$
$t^2 + t - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Отсюда корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Проверим корни по условию $t \ge 0$. Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому является посторонним. Остается только $t_1 = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 - 3x + 5 = 9$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 4$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2$.
Преобразуем правую часть уравнения: $12 + 3x - x^2 = 12 - (x^2 - 3x)$.
В левой части под корнем также можно выделить выражение $x^2 - 3x$: $\sqrt{3(x^2 - 3x) - 26}$.
Введем замену. Пусть $y = x^2 - 3x$.
Уравнение примет вид: $\sqrt{3y - 26} = 12 - y$.
Для существования решения необходимо выполнение системы неравенств (область допустимых значений):
$\begin{cases} 3y - 26 \ge 0 \\ 12 - y \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge \frac{26}{3} \\ y \le 12 \end{cases}$
Таким образом, $y \in [\frac{26}{3}, 12]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$3y - 26 = (12 - y)^2$
$3y - 26 = 144 - 24y + y^2$
$y^2 - 27y + 170 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 170 = 729 - 680 = 49 = 7^2$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{27 - 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$y_2 = \frac{27 + 7}{2} = \frac{34}{2} = 17$.
Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений $[\frac{26}{3}, 12]$.
$y_1 = 10$. Так как $\frac{26}{3} \approx 8.67$, то условие $8.67 \le 10 \le 12$ выполняется. Этот корень подходит.
$y_2 = 17$. $17 > 12$. Этот корень является посторонним.
Выполним обратную замену для $y = 10$:
$x^2 - 3x = 10$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 5$.

3) Исходное уравнение: $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$.
Вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых: $2(x^2 + 3x) - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$.
Преобразуем выражение в скобках, чтобы оно совпало с подкоренным:
$2(x^2 + 3x - 3 + 3) - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$
$2(x^2 + 3x - 3) + 6 - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$
$2(x^2 + 3x - 3) - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} + 1 = 0$
Введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 3x - 3}$. Условие: $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = x^2 + 3x - 3$.
Подставим в уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Так как сумма коэффициентов $2 - 3 + 1 = 0$, то один из корней $t_1 = 1$. Второй корень $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.
Оба корня $t_1=1$ и $t_2=0.5$ удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому рассматриваем оба случая.
Случай 1: $t = 1$.
$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 1 \implies x^2 + 3x - 3 = 1 \implies x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = \frac{1}{2} \implies x^2 + 3x - 3 = \frac{1}{4} \implies x^2 + 3x - \frac{13}{4} = 0$.
Умножим на 4: $4x^2 + 12x - 13 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 144 + 208 = 352$.
$\sqrt{D} = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22}$.
$x = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}$.
Получаем еще два корня: $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{22}}{2}$ и $x_4 = \frac{-3 - \sqrt{22}}{2}$.
Ответ: $-4; 1; \frac{-3 - \sqrt{22}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{22}}{2}$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72$.
Область допустимых значений: $x \ge 0$.
Упростим выражения под корнями, используя свойства степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$):
Первое слагаемое: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x^1 \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$.
Второе слагаемое: $\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x^1 \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{3/5} + x^{3/10} = 72$.
Заметим, что $x^{3/5} = (x^{3/10})^2$.
Введем замену. Пусть $t = x^{3/10}$. Поскольку $x \ge 0$, то $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = (x^{3/10})^2 = x^{3/5}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$t^2 + t = 72$
$t^2 + t - 72 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -72$
Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -9$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 8$. Корень $t_2 = -9$ является посторонним.
Выполним обратную замену:
$x^{3/10} = 8$
Возведем обе части в степень $\frac{10}{3}$:
$(x^{3/10})^{10/3} = 8^{10/3}$
$x = (\sqrt[3]{8})^{10} = 2^{10} = 1024$.
Ответ: $1024$.