Номер 15.1, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.1. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $2\sqrt{x+1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x+1}};$

2) $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12;$

3) $\sqrt{\frac{x+5}{x-1}} + 7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}} = 8;$

4) $\frac{x \sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4.$

1) $2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием подкоренного выражения и знаменателя: $x+1 > 0$, что означает $x > -1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x+1}$. Поскольку $t$ представляет собой арифметический квадратный корень и находится в знаменателе, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид:
$2t - 5 = \frac{3}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$, так как $t \ne 0$:
$2t^2 - 5t = 3$
$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Проверим найденные значения $t$ на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому это посторонний корень.
$t_2 = 3$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t=3$:
$\sqrt{x+1} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x+1 = 9$
$x = 8$

Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > -1$).

Ответ: 8

2) $x^2-x+9+\sqrt{x^2-x+9}=12$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем $x^2-x+9$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (при $x^2$) положителен, трехчлен $x^2-x+9$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2-x+9}$. По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.
Тогда $x^2-x+9 = t^2$.

Уравнение принимает вид:
$t^2 + t = 12$
$t^2 + t - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни уравнения: $t_1 = -4$ и $t_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = -4$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
$t_2 = 3$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=3$:
$\sqrt{x^2-x+9} = 3$

Возведем обе части в квадрат:
$x^2-x+9 = 9$
$x^2-x = 0$
$x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: 0; 1

3) $\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}+7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=8$

ОДЗ уравнения определяется тем, что выражения под корнями должны быть строго положительными, так как они также находятся в знаменателе друг у друга.
$\frac{x+5}{x-1} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$, $(1; +\infty)$. Определив знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+5}{x-1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-1}{x+5}} = \frac{1}{t}$. Так как $t$ - это корень из строго положительного числа, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{7}{t} = 8$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):
$t^2 + 7 = 8t$
$t^2 - 8t + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 8$
$t_1 \cdot t_2 = 7$
Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 7$. Оба корня положительны и подходят.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1. Если $t=1$:
$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}} = 1 \implies \frac{x+5}{x-1} = 1 \implies x+5 = x-1 \implies 5 = -1$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
2. Если $t=7$:
$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}} = 7 \implies \frac{x+5}{x-1} = 49 \implies x+5 = 49(x-1) \implies x+5 = 49x - 49 \implies 54 = 48x \implies x = \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$.

Проверим, принадлежит ли корень $x = \frac{9}{8}$ ОДЗ.
$x = \frac{9}{8} = 1.125$. Так как $1.125 > 1$, корень входит в ОДЗ.

Ответ: $\frac{9}{8}$

4) $\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4$

ОДЗ: знаменатели дробей не должны равняться нулю.
1. $\sqrt[3]{x^2}-1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x^2} \neq 1 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
2. $\sqrt[3]{x}+1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -1 \implies x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = t^2$ и $x\sqrt[3]{x} = (\sqrt[3]{x})^3 \cdot \sqrt[3]{x} = t^3 \cdot t = t^4$.
ОДЗ в терминах $t$: $t^2-1 \neq 0 \implies t \neq \pm 1$ и $t+1 \neq 0 \implies t \neq -1$. Итого: $t \neq \pm 1$.

Подставим замену в уравнение:
$\frac{t^4-1}{t^2-1} - \frac{t^2-1}{t+1} = 4$

Упростим дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{(t^2-1)(t^2+1)}{t^2-1} - \frac{(t-1)(t+1)}{t+1} = 4$

Сократим дроби (это возможно в силу ОДЗ):
$(t^2+1) - (t-1) = 4$
$t^2 - t + 2 = 4$
$t^2 - t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1+t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ для $t$: $t \neq \pm 1$.
$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($t \neq -1$), это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t=2$:
$\sqrt[3]{x} = 2$

Возведем обе части в куб:
$x = 2^3 = 8$

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8