Номер 14.19, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.19. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} = a-x$.

Исходное уравнение: $2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} = a-x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внешним корнем $x+2+2\sqrt{x+1}$ и выражение под внутренним корнем $x+1$ должны быть неотрицательными.
1) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) Заметим, что $x+2+2\sqrt{x+1} = (x+1) + 2\sqrt{x+1} + 1 = (\sqrt{x+1} + 1)^2$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1} + 1 \ge 1$, следовательно $(\sqrt{x+1} + 1)^2 \ge 1$. Это выражение всегда положительно при $x \ge -1$.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge -1$.

Упростим левую часть уравнения:$2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} = 2\sqrt{(\sqrt{x+1} + 1)^2} = 2|\sqrt{x+1} + 1|$. Поскольку $\sqrt{x+1} + 1$ всегда положительно, модуль можно опустить: $2(\sqrt{x+1} + 1) = 2\sqrt{x+1} + 2$.

Уравнение принимает вид:$2\sqrt{x+1} + 2 = a - x$.

Для решения введем замену переменной: $t = \sqrt{x+1}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$. Также $x = t^2 - 1$. Подставим замену в уравнение:$2t + 2 = a - (t^2 - 1)$$2t + 2 = a - t^2 + 1$$t^2 + 2t + 1 = a$$(t+1)^2 = a$.

Так как $t \ge 0$, то $t+1 \ge 1$, и, следовательно, левая часть уравнения $(t+1)^2 \ge 1$. Это означает, что решения могут существовать только при $a \ge 1$. Рассмотрим решения для каждого значения параметра $a$.

При $a < 1$

В этом случае уравнение $(t+1)^2 = a$ не имеет решений, так как его левая часть не может быть меньше 1. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: решений нет.

При $a \ge 1$

Решаем уравнение $(t+1)^2 = a$. Так как $t+1 \ge 1$, извлекаем квадратный корень и выбираем положительное значение:$t+1 = \sqrt{a}$$t = \sqrt{a} - 1$.

Условие $t \ge 0$ выполняется, так как при $a \ge 1$ имеем $\sqrt{a} \ge 1$, и $\sqrt{a} - 1 \ge 0$.

Выполним обратную замену для нахождения $x$:$\sqrt{x+1} = t = \sqrt{a} - 1$. Возводим обе части в квадрат:$x+1 = (\sqrt{a} - 1)^2 = a - 2\sqrt{a} + 1$$x = a - 2\sqrt{a}$.

Это единственное решение уравнения для данного случая.
Ответ: $x = a - 2\sqrt{a}$.