Номер 14.13, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.13. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x};$

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}.$

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -7/3 \\ x \le 8 \end{cases}$
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [-2, 8]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7})^2 = (\sqrt{8-x})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3x+7)} + (3x+7) = 8-x$
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 7x + 6x + 14} = 8-x$
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8-x$

Уединим радикал в левой части уравнения:
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8 - x - 4x - 9$
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = -5x - 1$

Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной:
$-5x - 1 \ge 0 \implies -5x \ge 1 \implies x \le -1/5$.
С учетом ОДЗ, возможные решения должны находиться в промежутке $[-2, -1/5]$.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{3x^2 + 13x + 14})^2 = (-5x - 1)^2$
$4(3x^2 + 13x + 14) = 25x^2 + 10x + 1$
$12x^2 + 52x + 56 = 25x^2 + 10x + 1$
$13x^2 - 42x - 55 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-55) = 1764 + 2860 = 4624 = 68^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 + 68}{2 \cdot 13} = \frac{110}{26} = \frac{55}{13}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 - 68}{2 \cdot 13} = \frac{-26}{26} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \in [-2, -1/5]$.
Корень $x_1 = 55/13 \approx 4.23$ не удовлетворяет условию $x \le -1/5$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x \in [-2, -1/5]$.
Выполним проверку, подставив $x=-1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{-1+2} + \sqrt{3(-1)+7} = \sqrt{8-(-1)}$
$\sqrt{1} + \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$1 + 2 = 3$
$3 = 3$ (Верно).
Следовательно, $x=-1$ является решением уравнения.

Ответ: -1.

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 6x-11 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 11/6 \\ x \ge 2 \\ x \ge -3 \end{cases}$
Наиболее сильное условие - $x \ge 2$. ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Перенесем член $\sqrt{x-2}$ в правую часть, чтобы избежать отрицательных значений при возведении в квадрат:
$\sqrt{6x-11} = \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{6x-11})^2 = (\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2$
$6x-11 = (x-2) + 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + (x+3)$
$6x-11 = 2x + 1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6}$

Уединим радикал:
$6x - 11 - 2x - 1 = 2\sqrt{x^2 + x - 6}$
$4x - 12 = 2\sqrt{x^2 + x - 6}$
$2x - 6 = \sqrt{x^2 + x - 6}$

Левая часть должна быть неотрицательной:
$2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$.
Это условие более строгое, чем ОДЗ, поэтому будем проверять корни по нему.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(2x - 6)^2 = (\sqrt{x^2 + x - 6})^2$
$4x^2 - 24x + 36 = x^2 + x - 6$
$3x^2 - 25x + 42 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 - 504 = 121 = 11^2$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 3$.
Корень $x_2 = 7/3 \approx 2.33$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, значит, это посторонний корень.
Проверим корень $x=6$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{6(6)-11} - \sqrt{6-2} = \sqrt{6+3}$
$\sqrt{36-11} - \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$\sqrt{25} - 2 = 3$
$5 - 2 = 3$
$3 = 3$ (Верно).

Ответ: 6.