Номер 14.7, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.7. Решите уравнение:

1) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}} = x+1;$

2) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}} = x-1.$

1) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Выражение под внутренним корнем $x^2 + 24$ всегда положительно при любом $x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 + x\sqrt{x^2 + 24} = (x + 1)^2$

$1 + x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x + 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x$

$x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2)$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем:

а) $x = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение для проверки: $\sqrt{1 + 0 \cdot \sqrt{0^2 + 24}} = 0 + 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1$, что является верным равенством. Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge -1$), значит, является решением.

б) $x \ne 0$. В этом случае можно разделить обе части уравнения $x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2)$ на $x$:

$\sqrt{x^2 + 24} = x + 2$

Здесь также правая часть должна быть неотрицательной: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$. С учетом первоначального условия $x \ge -1$, это ограничение выполняется. Снова возводим в квадрат:

$x^2 + 24 = (x + 2)^2$

$x^2 + 24 = x^2 + 4x + 4$

$20 = 4x$

$x = 5$

Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge -1$). Проверим его в исходном уравнении:

Левая часть: $\sqrt{1 + 5\sqrt{5^2 + 24}} = \sqrt{1 + 5\sqrt{49}} = \sqrt{1 + 5 \cdot 7} = \sqrt{36} = 6$.

Правая часть: $x + 1 = 5 + 1 = 6$.

Так как $6 = 6$, равенство верное, и $x=5$ также является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 5.

2) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1$

Определим ОДЗ. Во-первых, выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 24 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 24$, что означает $x \in (-\infty; -2\sqrt{6}] \cup [2\sqrt{6}; +\infty)$. Во-вторых, правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Объединив эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2\sqrt{6}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 + x\sqrt{x^2 - 24} = (x - 1)^2$

$1 + x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x + 1$

$x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x$

$x\sqrt{x^2 - 24} = x(x - 2)$

Так как из ОДЗ следует, что $x \ge 2\sqrt{6} > 0$, мы можем разделить обе части на $x$:

$\sqrt{x^2 - 24} = x - 2$

Проверим неотрицательность правой части: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Это условие выполняется, так как наше ОДЗ $x \ge 2\sqrt{6}$ (где $2\sqrt{6} \approx 4.9$) является более строгим.

Возведем в квадрат еще раз:

$x^2 - 24 = (x - 2)^2$

$x^2 - 24 = x^2 - 4x + 4$

$-24 = -4x + 4$

$4x = 28$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=7$ ОДЗ ($x \ge 2\sqrt{6}$).

$7 \ge 2\sqrt{6} \Leftrightarrow 49 \ge 4 \cdot 6 \Leftrightarrow 49 \ge 24$. Это верно. Следовательно, $x=7$ является решением.

Ответ: 7.