Вопросы?, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое уравнение называют иррациональным?

2. Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.

3. Как можно выявить посторонние корни уравнения?

1. Какое уравнение называют иррациональным?

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором переменная (неизвестное) содержится под знаком корня (радикала) или возводится в дробную степень. Другими словами, это уравнение, содержащее иррациональные функции относительно переменной.

Например, уравнения $\sqrt{x+5} = 3$, $\sqrt[3]{x^2-1} = x$, $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4}} = 2$ являются иррациональными.

Ответ: Иррациональным называют уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.

2. Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.

При решении иррациональных уравнений ключевым методом является избавление от знака корня путем возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень. Равносильность преобразований зависит от четности показателя корня.

Теорема 1 (Корень четной степени). Уравнение вида $\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)$, где $n$ — натуральное число, равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n}, \\ g(x) \ge 0. \end{cases} $$

Условие неотрицательности подкоренного выражения $f(x) \ge 0$ является избыточным, так как оно автоматически следует из первого уравнения системы, где $f(x)$ приравнивается к выражению в четной степени $(g(x))^{2n}$, которое всегда неотрицательно.

Теорема 2 (Корень нечетной степени). Уравнение вида $\sqrt[2n+1]{f(x)} = g(x)$, где $n$ — натуральное число, равносильно уравнению:

$$f(x) = (g(x))^{2n+1}$$

Никаких дополнительных условий не требуется, так как корень нечетной степени существует для любого действительного значения подкоренного выражения и может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль).

Теорема 3 (Равенство двух корней четной степени). Уравнение вида $\sqrt[2n]{f(x)} = \sqrt[2n]{g(x)}$ равносильно одной из двух систем (достаточно выбрать ту, в которой неравенство проще):

$$ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases} $$

Ответ: Теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений заключаются в возведении обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня, с обязательным добавлением условия неотрицательности для той части уравнения, которая приравнивается к корню четной степени. Для корней нечетной степени возведение в степень является равносильным переходом без дополнительных условий.

3. Как можно выявить посторонние корни уравнения?

Посторонние корни могут возникнуть в процессе решения уравнения при использовании неравносильных преобразований. Чаще всего это происходит при возведении обеих частей уравнения в четную степень без учета ограничений. Выявить посторонние корни можно следующими способами:

1. Проверка подстановкой. Это наиболее универсальный и надежный метод. Все найденные потенциальные решения необходимо подставить в исходное (самое первое) уравнение. Те значения переменной, которые превращают уравнение в верное числовое равенство, являются его корнями. Те значения, при которых равенство не выполняется, являются посторонними корнями и должны быть отброшены.
2. Анализ области допустимых значений (ОДЗ). Перед решением можно найти ОДЗ уравнения — множество всех значений переменной, при которых все выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Для иррациональных уравнений это в первую очередь означает, что все подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательны. Корни, не входящие в ОДЗ, являются посторонними. Однако этот метод не всегда отсеивает все посторонние корни, так как корень может входить в ОДЗ, но не удовлетворять другим условиям (например, знаку выражения, как в уравнении $\sqrt{x} = -2$).
3. Использование равносильных преобразований. Если при решении строго следовать теоремам о равносильных переходах (см. пункт 2), добавляя все необходимые неравенства-ограничения в систему, то посторонние корни не появятся, и все найденные решения будут верными.

Ответ: Выявить посторонние корни можно, выполнив проверку подстановкой найденных значений в исходное уравнение, либо проверив соответствие корней области допустимых значений (ОДЗ) и другим ограничениям, возникающим в ходе равносильных преобразований.