Номер 13.22, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.22. Упростите выражение

$\frac{x - y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}$

Для упрощения данного выражения введем замену переменных. Пусть $a = x^{\frac{1}{4}}$ и $b = y^{\frac{1}{4}}$. Тогда:

$x = a^4$, $y = b^4$

$x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2 = a^2$, $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2 = b^2$

$x^{\frac{3}{4}} = (x^{\frac{1}{4}})^3 = a^3$

Перепишем исходное выражение, используя переменные $a$ и $b$, и упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}}$.

Числитель этой дроби раскладывается по формуле разности квадратов: $x - y = a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель: $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = a^3 + a^2b = a^2(a+b)$.

Таким образом, первая дробь равна: $\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a^2(a+b)} = \frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2}$.

Вторая дробь: $\frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

В числителе вынесем общий множитель: $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = a^2b + ab^2 = ab(a+b)$.

Знаменатель равен $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = a^2 + b^2$.

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}$.

Третья дробь: $\frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Числитель: $x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}} = ab^{-1} = \frac{a}{b}$.

Знаменатель сворачивается по формуле квадрата разности: $x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}} = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, третья дробь равна: $\frac{a/b}{(a-b)^2} = \frac{a}{b(a-b)^2}$.

Теперь перемножим упрощенные дроби:

$\frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2} \cdot \frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \cdot \frac{a}{b(a-b)^2}$

Запишем все множители в одну дробь:

$\frac{(a-b)(a^2+b^2)ab(a+b)a}{a^2(a^2+b^2)b(a-b)^2}$

Сократим общие множители. Множитель $(a^2+b^2)$ есть и в числителе, и в знаменателе. Также сократим $a^2$ (из $a \cdot a$ в числителе) и $b$.

$\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}$

Теперь сократим множитель $(a-b)$:

$\frac{a+b}{a-b}$

Выполним обратную замену, подставив $a = x^{\frac{1}{4}}$ и $b = y^{\frac{1}{4}}$:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}$.