Номер 13.15, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.15. Вычислите значение выражения:

1) $(\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} + (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} \cdot (0,81)^{-0,5};$

2) $16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{-\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5};$

3) $\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{5}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}};$

4) $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 36^{-\frac{1}{6}}.$

1)
Вычислим значение каждого слагаемого и множителя по отдельности:
$\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = (16^{-1})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
$\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = (8^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
$(0,81)^{-0,5} = \left(\frac{81}{100}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{100}{81}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$(8 + 4) \cdot \frac{10}{9} = 12 \cdot \frac{10}{9} = \frac{12 \cdot 10}{9} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 10}{3 \cdot 3} = \frac{40}{3}$.
Ответ: $\frac{40}{3}$.

2)
Приведем все множители к основанию 2, так как $16=2^4$, $8=2^3$ и $4=2^2$:
$16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{-\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5} = (2^4)^{\frac{1}{8}} \cdot (2^3)^{-\frac{5}{6}} \cdot (2^2)^{1,5}$.
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{4 \cdot \frac{1}{8}} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{5}{6})} \cdot 2^{2 \cdot 1,5} = 2^{\frac{4}{8}} \cdot 2^{-\frac{15}{6}} \cdot 2^3 = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{5}{2}} \cdot 2^3$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$2^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3} = 2^{\frac{1-5}{2} + 3} = 2^{-\frac{4}{2} + 3} = 2^{-2 + 3} = 2^1 = 2$.
Ответ: $2$.

3)
Объединим дроби и приведем степени к простым основаниям (2, 3, 5). Заметим, что $81=3^4$, $9=3^2$, $8=2^3$:
$\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 81^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{5}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}} = \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot (3^4)^{\frac{1}{12}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{4}}}{(3^2)^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}}}$.
Упростим показатели степеней:
$\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{12}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{2}{6}} \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} = \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}$.
Вычислим новые показатели:
$5^{-\frac{2}{2}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 5^{-1} \cdot 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$.
Запишем ответ в виде корней:
$\frac{\sqrt[4]{2^3}}{5\sqrt[3]{3^2}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{5\sqrt[3]{9}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{8}}{5\sqrt[3]{9}}$.

4)
Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем первый множитель:
$(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 72^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 72^{\frac{1}{3}}$.
Разложим 72 на простые множители: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
$72^{\frac{1}{3}} = (2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}} = 2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$.
Теперь преобразуем делитель:
$36^{-\frac{1}{6}} = (6^2)^{-\frac{1}{6}} = 6^{-\frac{2}{6}} = 6^{-\frac{1}{3}} = (2 \cdot 3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}$.
Подставим всё в исходное выражение:
$(2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : (2^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}})$.
Запишем деление как умножение на дробь и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}}}{2^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}} = (2^1 \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}) \cdot (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})$.
Сложим показатели степеней:
$2^{1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{1 - \frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}} = 2^{1-1} \cdot 3^1 = 2^0 \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$.
Ответ: $3$.