Номер 13.21, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.21. Упростите выражение:

1) $\frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} : a^{\frac{1}{3}};$

2) $\frac{\left(x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{x^4} - 8y\sqrt[3]{x}\right)} : \sqrt[3]{xy} \cdot \left(2 - \sqrt[3]{\frac{x}{y}}\right).$

1)

Преобразуем исходное выражение:

$ \frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} : a^{\frac{1}{3}} $

Сначала упростим числитель дроби. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}} = a(a^{\frac{4}{3}} - 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}}) $

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=a^{\frac{2}{3}}$ и $y=b^{\frac{2}{3}}$:

$ a((a^{\frac{2}{3}})^2 - 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} + (b^{\frac{2}{3}})^2) = a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})^2 $

Теперь упростим знаменатель, используя метод группировки. Сгруппируем первый и третий члены, а также второй и четвертый:

$ (a^{\frac{5}{3}} - ab^{\frac{2}{3}}) + (-a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b) = a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $

Вынесем общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})$:

$ (a - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})^2}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})} $

Сократим на $(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})$:

$ \frac{a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} $

Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ к выражению $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2$:

$ \frac{a(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} $

Сократим на $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$ и упростим степени $a$:

$ \frac{a(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{1-\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $

Наконец, выполним деление на $a^{\frac{1}{3}}$:

$ a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} $

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$

2)

Перепишем выражение, используя степени вместо корней:

$ \frac{x^{\frac{2}{3}} + 2(xy)^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}} : (xy)^{\frac{1}{3}} \cdot (2 - (\frac{x}{y})^{\frac{1}{3}}) $

Будем выполнять действия по порядку слева направо. Сначала упростим дробь.

Числитель: $x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}$. Это выражение является неполным квадратом суммы.

Знаменатель: $x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}$. Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$:

$ x^{\frac{1}{3}}(x - 8y) $

Выражение в скобках является разностью кубов $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$, где $A = x^{\frac{1}{3}}$ и $B = 2y^{\frac{1}{3}}$:

$ x - 8y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (2y^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})( (x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}}(2y^{\frac{1}{3}}) + (2y^{\frac{1}{3}})^2 ) = (x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $

Таким образом, знаменатель равен: $x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})$.

Теперь упростим дробь, сократив общее выражение в числителе и знаменателе:

$ \frac{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} $

Следующим действием выполним деление на $\sqrt[3]{xy} = (xy)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$:

$ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} : (x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}) \cdot x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} $

Последнее действие — умножение. Упростим второй множитель:

$ 2 - \sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 2 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{2y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = -\frac{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} $

Перемножим результаты:

$ \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} \cdot (-\frac{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) $

Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})$:

$ -\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}}} = -\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}} = -\frac{1}{(xy)^{\frac{2}{3}}} $

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt[3]{(xy)^2}}$