gdz.top
Номер 13.26, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Степенная функция. Параграф 13. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 13.26, страница 108.
№13.25
№13.26 (с. 108)
Условие. №13.26 (с. 108)
13.26. Упростите выражение $a^{0.2} + a^{0.5} + a^{0.8} + a^{1.1} + \dots + a^{7.1}$.
Решение. №13.26 (с. 108)
Данное выражение $a^{0,2} + a^{0,5} + a^{0,8} + a^{1,1} + ... + a^{7,1}$ представляет собой сумму членов конечной геометрической прогрессии. Это можно проверить, найдя отношение последующих членов к предыдущим.
Первый член этой прогрессии $b_1 = a^{0,2}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
$q = \frac{a^{0,5}}{a^{0,2}} = a^{0,5 - 0,2} = a^{0,3}$.
Для проверки можно взять отношение третьего члена ко второму: $\frac{a^{0,8}}{a^{0,5}} = a^{0,8 - 0,5} = a^{0,3}$. Знаменатель постоянен.
Чтобы найти сумму, необходимо определить количество членов прогрессии, $n$. Заметим, что показатели степеней $0,2; 0,5; 0,8; ...; 7,1$ образуют арифметическую прогрессию.
Первый член этой арифметической прогрессии $x_1 = 0,2$, а её разность $d = 0,5 - 0,2 = 0,3$. Последний член $x_n = 7,1$.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $x_n = x_1 + (n-1)d$ для нахождения количества членов $n$:
$7,1 = 0,2 + (n-1) \cdot 0,3$
Вычтем $0,2$ из обеих частей:
$6,9 = (n-1) \cdot 0,3$
Разделим обе части на $0,3$:
$n-1 = \frac{6,9}{0,3} = \frac{69}{3} = 23$
Отсюда находим $n$:
$n = 23 + 1 = 24$.
Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим найденные значения $b_1 = a^{0,2}$, $q = a^{0,3}$ и $n = 24$:
$S_{24} = \frac{a^{0,2}((a^{0,3})^{24} - 1)}{a^{0,3} - 1}$
Упростим выражение в числителе:
$S_{24} = \frac{a^{0,2}(a^{0,3 \cdot 24} - 1)}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{0,2}(a^{7,2} - 1)}{a^{0,3} - 1}$
Раскроем скобки в числителе для получения альтернативной формы ответа:
$S_{24} = \frac{a^{0,2} \cdot a^{7,2} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{0,2 + 7,2} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{7,4} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1}$
Ответ: $\frac{a^{7,4} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 13.26 расположенного на странице 108 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.26 (с. 108), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.