Номер 13.19, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.19. Докажите тождество:

1) $ \left( \frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} - \frac{a^{0.5} - 2}{a - 1} \right) : \frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 1} = \frac{2}{a - 1}; $

2) $ \frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{\left( a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \right) \left( a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b \right)} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}. $

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разность квадратов.

Знаменатель первой дроби: $a + 2a^{0,5} + 1 = (a^{0,5})^2 + 2 \cdot a^{0,5} \cdot 1 + 1^2 = (a^{0,5} + 1)^2$.

Знаменатель второй дроби: $a - 1 = (a^{0,5})^2 - 1^2 = (a^{0,5} - 1)(a^{0,5} + 1)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)$:

$ \frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2} - \frac{a^{0,5} - 2}{(a^{0,5} - 1)(a^{0,5} + 1)} = \frac{(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} - 1) - (a^{0,5} - 2)(a^{0,5} + 1)}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} $

Раскроем скобки в числителе:

$(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} - 1) = (a^{0,5})^2 - a^{0,5} + 2a^{0,5} - 2 = a + a^{0,5} - 2$

$(a^{0,5} - 2)(a^{0,5} + 1) = (a^{0,5})^2 + a^{0,5} - 2a^{0,5} - 2 = a - a^{0,5} - 2$

Вычтем второе выражение из первого, чтобы найти итоговый числитель:

$(a + a^{0,5} - 2) - (a - a^{0,5} - 2) = a + a^{0,5} - 2 - a + a^{0,5} + 2 = 2a^{0,5}$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)}$.

Теперь выполним деление:

$ \frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} : \frac{a^{0,5}}{a^{0,5} + 1} = \frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} $

Сократив общие множители $a^{0,5}$ и $(a^{0,5} + 1)$, получим:

$ \frac{2}{(a^{0,5} + 1)(a^{0,5} - 1)} = \frac{2}{(a^{0,5})^2 - 1^2} = \frac{2}{a - 1} $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть равенства, упрощая каждое слагаемое по отдельности.

Упростим первое слагаемое: $\frac{(a-b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения. Числитель: $(a-b)^2 = ((a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}))^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2$.

Знаменатель (разность кубов): $a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$.

Тогда первое слагаемое равно: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$.

Упростим второе слагаемое: $\frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}$.

Разложим числитель: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)$.

Тогда второе слагаемое равно: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$.

Сложим упрощенные слагаемые. Они имеют общий знаменатель $a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Вынесем общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ за скобки в числителе:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \left[ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b) \right]}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Упростим выражение в квадратных скобках: $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b) = (a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + (a+b) = 2a + 2b + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$.

Подставим это обратно в дробь и сократим общий множитель:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = 2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}} $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.