Номер 13.16, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.16. Найдите значение выражения:

1) $ (343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}})^{\frac{4}{3}} $

2) $ 10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} $

3) $ \frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}} $

4) $ \frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}} $

1) $\left(343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Для решения представим основания степеней в виде степеней числа 7, так как $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$.

$\left((7^3)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{7^2}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{3 \cdot \frac{1}{2}} \cdot (7^{-2})^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-2 \cdot \frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{6}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Теперь используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для выражения в скобках. Приведем показатели к общему знаменателю:

$\left(7^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Еще раз применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$7^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 7^1 = 7$

Ответ: 7

2) $10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(10 \cdot 40)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 400^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Представим 400 как $20^2$:

$(20^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{2 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Снова применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(20 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10

3) $\frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}}$

Для упрощения выражения приведем все основания степеней к одному основанию — 2:

$32 = 2^5$; $4 = 2^2$; $64 = 2^6$; $16 = 2^4$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(2^5)^{0,24} \cdot (2^2)^{0,7}}{(2^6)^{0,6} \cdot (2^4)^{0,25}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, вычислим показатели:

$\frac{2^{5 \cdot 0,24} \cdot 2^{2 \cdot 0,7}}{2^{6 \cdot 0,6} \cdot 2^{4 \cdot 0,25}} = \frac{2^{1,2} \cdot 2^{1,4}}{2^{3,6} \cdot 2^{1}}$

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:

$\frac{2^{1,2 + 1,4}}{2^{3,6 + 1}} = \frac{2^{2,6}}{2^{4,6}}$

Теперь применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{2,6 - 4,6} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

4) $\frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}}$

Объединим две дроби в одну, перемножив числители и знаменатели:

$\frac{12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и упростим числитель и знаменатель.

В числителе: $12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = (12 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} = 6$.

Числитель становится: $6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}$.

В знаменателе: $8^{-\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} = 8^{-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}} = 8^{-\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = 8^{\frac{2}{6}} = 8^{\frac{1}{3}}$.

Так как $8 = 2^3$, то $8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.

Знаменатель становится: $7^{\frac{2}{3}} \cdot 2$.

Теперь запишем упрощенную дробь:

$\frac{6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$

Разделим коэффициенты и степени с одинаковым основанием:

$\frac{6}{2} \cdot \frac{7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = 3 \cdot 7^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = 3 \cdot 7^{\frac{3}{3}} = 3 \cdot 7^1 = 21$

Ответ: 21