Номер 13.9, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.9. Раскройте скобки:

1) $(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3});$

2) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2;$

3) $(b^{0.4} + 3)^2 - 6b^{0.4};$

4) $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a);$

5) $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}});$

6) $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1).$

1) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{0,5} - 3b^{0,3})(2a^{0,5} + b^{0,3})$ воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(a^{0,5} - 3b^{0,3})(2a^{0,5} + b^{0,3}) = a^{0,5} \cdot 2a^{0,5} + a^{0,5} \cdot b^{0,3} - 3b^{0,3} \cdot 2a^{0,5} - 3b^{0,3} \cdot b^{0,3}$

Применим свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$2a^{0,5+0,5} + a^{0,5}b^{0,3} - 6a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,3+0,3} = 2a^1 + a^{0,5}b^{0,3} - 6a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$

Приведем подобные слагаемые:

$2a - 5a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$

Ответ: $2a - 5a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$

2) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2$

Применим свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$a^{\frac{1}{3} \cdot 2} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

3) Сначала раскроем скобки в $(b^{0,4} + 3)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = b^{0,4}$ и $y = 3$.

$(b^{0,4} + 3)^2 = (b^{0,4})^2 + 2 \cdot b^{0,4} \cdot 3 + 3^2 = b^{0,4 \cdot 2} + 6b^{0,4} + 9 = b^{0,8} + 6b^{0,4} + 9$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(b^{0,8} + 6b^{0,4} + 9) - 6b^{0,4}$

Приведем подобные слагаемые:

$b^{0,8} + (6b^{0,4} - 6b^{0,4}) + 9 = b^{0,8} + 9$

Ответ: $b^{0,8} + 9$

4) Выражение $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a)$ соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Проверим, так ли это. Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = a^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}}$.

$xy = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.

$y^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a^1 = a$.

Второй множитель действительно равен $x^2 - xy + y^2$. Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$x^3 + y^3 = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} + a^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^1 + a^{\frac{3}{2}} = a + a^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $a + a^{\frac{3}{2}}$

5) В выражении $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$ раскроем скобки последовательно.

Первые два множителя $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$ представляют собой формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{1}{6}}$ и $y = b^{\frac{1}{6}}$.

$(a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$

Теперь умножим результат на третий множитель:

$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$

Это снова формула разности квадратов, где $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

6) В выражении $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$ рассмотрим произведение первых двух множителей.

Оно соответствует формуле разности кубов $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Пусть $a = x^{\frac{2}{9}}$ и $b = 1$.

Проверим второй множитель: $a^2 = (x^{\frac{2}{9}})^2 = x^{\frac{4}{9}}$, $ab = x^{\frac{2}{9}} \cdot 1 = x^{\frac{2}{9}}$, $b^2 = 1^2 = 1$. Совпадает.

Применим формулу:

$a^3 - b^3 = (x^{\frac{2}{9}})^3 - 1^3 = x^{\frac{2 \cdot 3}{9}} - 1 = x^{\frac{6}{9}} - 1 = x^{\frac{2}{3}} - 1$

Теперь умножим результат на оставшийся множитель:

$(x^{\frac{2}{3}} - 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$

Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = x^{\frac{2}{3}}$ и $b = 1$.

$(x^{\frac{2}{3}})^2 - 1^2 = x^{\frac{2 \cdot 2}{3}} - 1 = x^{\frac{4}{3}} - 1$

Ответ: $x^{\frac{4}{3}} - 1$