Номер 13.6, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.6. Чему равно значение выражения:

1) $5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6};$

2) $(7^{-0,7})^8 : 7^{-7,6};$

3) $(9^{\frac{3}{7}})^{\frac{4}{3}};$

4) $(2^{\frac{6}{7}})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5} ?$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно 5. Сложим показатели степеней:

$5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6} = 5^{3,4 + (-1,8) + (-2,6)} = 5^{3,4 - 1,8 - 2,6} = 5^{1,6 - 2,6} = 5^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) В этом примере используются два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Сначала упростим выражение в скобках:

$(7^{-0,7})^8 = 7^{-0,7 \cdot 8} = 7^{-5,6}$

Теперь выполним деление:

$7^{-5,6} : 7^{-7,6} = 7^{-5,6 - (-7,6)} = 7^{-5,6 + 7,6} = 7^2$

Вычислим результат:

$7^2 = 49$

Ответ: 49.

3) Для решения этого примера воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Сначала представим смешанное число $4\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь перемножим показатели степеней:

$(9^{\frac{3}{7}})^{4\frac{2}{3}} = (9^{\frac{3}{7}})^{\frac{14}{3}} = 9^{\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{3}} = 9^{\frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 3}} = 9^2$

Вычислим результат:

$9^2 = 81$

Ответ: 81.

4) В этом примере используется свойство умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Объединим основания под одним показателем степени:

$(2\frac{6}{7})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5} = (2\frac{6}{7} \cdot 1,4)^{2,5}$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби:

$2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

Теперь перемножим основания:

$\frac{20}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{20 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{20}{5} = 4$

Выражение принимает вид $4^{2,5}$. Представим десятичный показатель $2,5$ в виде дроби $\frac{5}{2}$:

$4^{2,5} = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: 32.