Номер 12.36, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.36. Докажите равенство

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}} = \sqrt[1024]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$

10 радикалов

Для доказательства равенства преобразуем его правую часть. Обозначим правую часть равенства через $X$.

$X = \sqrt[1024]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$

Введем последовательность $x_n$, определенную следующим образом:

$x_n = \sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}$ для $n \ge 1$.

Поскольку $1024 = 2^{10}$, правая часть исходного равенства $X$ соответствует члену последовательности $x_{10}$.

Найдем связь между членами последовательности. Возведем $x_n$ в квадрат:

$x_n^2 = \left(\sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}\right)^2$

$x_n^2 = \left(\sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}} + \left(\sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}\right)^2$

Упростим каждое слагаемое:

$\left(\sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}}\right)^2 = (2+\sqrt{3})^{\frac{2}{2^n}} = (2+\sqrt{3})^{\frac{1}{2^{n-1}}} = \sqrt[2^{n-1}]{2+\sqrt{3}}$

$\left(\sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}\right)^2 = \sqrt[2^{n-1}]{2-\sqrt{3}}$

$2 \cdot \sqrt[2^n]{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 2 \cdot \sqrt[2^n]{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 2 \cdot \sqrt[2^n]{4-3} = 2 \cdot \sqrt[2^n]{1} = 2$

Подставим упрощенные выражения обратно в формулу для $x_n^2$:

$x_n^2 = \sqrt[2^{n-1}]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^{n-1}]{2-\sqrt{3}} + 2$

Заметим, что $\sqrt[2^{n-1}]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^{n-1}]{2-\sqrt{3}}$ есть не что иное, как $x_{n-1}$.

Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение: $x_n^2 = x_{n-1} + 2$.

Поскольку все члены последовательности $x_n$ являются положительными (как сумма положительных корней), можно записать:

$x_n = \sqrt{2+x_{n-1}}$

Теперь найдем значение первого члена последовательности, $x_1$:

$x_1 = \sqrt[2^1]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^1]{2-\sqrt{3}} = \sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Возведем $x_1$ в квадрат, чтобы найти его значение:

$x_1^2 = (\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}})^2 = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

$x_1^2 = 4 + 2\sqrt{4-3} = 4 + 2\sqrt{1} = 4+2=6$

Так как $x_1 > 0$, то $x_1 = \sqrt{6}$.

Теперь, используя рекуррентное соотношение $x_n = \sqrt{2+x_{n-1}}$, мы можем последовательно выразить $x_{10}$:

$x_2 = \sqrt{2+x_1} = \sqrt{2+\sqrt{6}}$

$x_3 = \sqrt{2+x_2} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$

$x_4 = \sqrt{2+x_3} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}$

Продолжая этот процесс, мы видим, что выражение для $x_n$ представляет собой вложенные квадратные корни, где общее число знаков корня (радикалов) равно $n$, и под самым внутренним корнем находится число 6.

Следовательно, для $n=10$ мы получаем:

$x_{10} = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}}_\text{10 радикалов}$

Это выражение в точности совпадает с левой частью доказываемого равенства.

Таким образом, мы показали, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же числу $x_{10}$, что и доказывает их тождество.

Ответ: Равенство доказано.