Номер 12.29, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.29. Докажите тождество:

1) $(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1} - \frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1} = \frac{\sqrt[6]{x}+1}{x};$

2) $\frac{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b};$

3) $\frac{\sqrt[3]{m+4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{m-4\sqrt{m-4}}+2}{\sqrt[3]{m-4\sqrt{m-4}}} \cdot \frac{m-4\sqrt{m-4}}{m-8} = 1.$

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для удобства введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$ и $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[6]{x})^4 = y^4$.

Запишем левую часть с новой переменной:

$\left( \frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} - \frac{\sqrt[6]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} \right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x} + 1} = \left( \frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} \right) : \frac{y^4}{y^2 + 2y + 1}$

Выполним преобразования по шагам:

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y^2(y+1)$:

$\frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} = \frac{1 \cdot y^2 - (y-1)(y+1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - (y^2 - 1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - y^2 + 1}{y^2(y+1)} = \frac{1}{y^2(y+1)}$

2. Упростим делитель. Заметим, что знаменатель является полным квадратом $(y+1)^2$:

$\frac{y^4}{y^2 + 2y + 1} = \frac{y^4}{(y+1)^2}$

3. Выполним деление, умножив первое выражение на обратное ко второму:

$\frac{1}{y^2(y+1)} : \frac{y^4}{(y+1)^2} = \frac{1}{y^2(y+1)} \cdot \frac{(y+1)^2}{y^4} = \frac{y+1}{y^2 \cdot y^4} = \frac{y+1}{y^6}$

4. Сделаем обратную замену. Так как $y = \sqrt[6]{x}$, то $y^6 = (\sqrt[6]{x})^6 = x$:

$\frac{y+1}{y^6} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x}$

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для удобства введем замены: пусть $A = \sqrt[3]{a}$ и $B = \sqrt[3]{b}$. Тогда $a = A^3$, $b = B^3$, $\sqrt[3]{a^2} = A^2$, $\sqrt[3]{b^2} = B^2$, $\sqrt[6]{a} = \sqrt{A}$, $\sqrt[6]{b} = \sqrt{B}$.

Перепишем левую часть тождества с новыми переменными. Обозначим ее за $L$:

$L = \frac{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} - \sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} = \frac{\frac{A^3+B^3}{A^2 - B^2} + \frac{AB^2 - A^2B}{A^2 - 2AB + B^2}}{\sqrt{A} - \sqrt{B}}$

1. Упростим числитель большой дроби. Сначала преобразуем каждое слагаемое в нем, используя формулы сокращенного умножения:

Первое слагаемое: $\frac{A^3+B^3}{A^2 - B^2} = \frac{(A+B)(A^2 - AB + B^2)}{(A-B)(A+B)} = \frac{A^2 - AB + B^2}{A-B}$

Второе слагаемое: $\frac{AB^2 - A^2B}{A^2 - 2AB + B^2} = \frac{-AB(A-B)}{(A-B)^2} = -\frac{AB}{A-B}$

2. Сложим полученные дроби:

$\frac{A^2 - AB + B^2}{A-B} - \frac{AB}{A-B} = \frac{A^2 - AB + B^2 - AB}{A-B} = \frac{A^2 - 2AB + B^2}{A-B} = \frac{(A-B)^2}{A-B} = A-B$

3. Теперь все выражение $L$ принимает вид:

$L = \frac{A-B}{\sqrt{A} - \sqrt{B}}$

4. Разложим числитель по формуле разности квадратов, учитывая, что $A = (\sqrt{A})^2$ и $B = (\sqrt{B})^2$:

$L = \frac{(\sqrt{A})^2 - (\sqrt{B})^2}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B})}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \sqrt{A} + \sqrt{B}$

5. Выполним обратную замену:

$\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{\sqrt[3]{a}} + \sqrt{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Введем замену: пусть $y = \sqrt{m-4}$. Отсюда $y^2 = m-4$ и $m = y^2+4$. Область допустимых значений переменной $m$ определяется условиями $m-4 \ge 0$ (подкоренное выражение неотрицательно) и знаменатели не равны нулю, что приводит к $m \ne 8$. Итак, $m \ge 4, m \ne 8$.

Левая часть тождества: $L = \frac{\sqrt[3]{m + 4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}+2}}{\sqrt[3]{m - 4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}-2}} \cdot \frac{m - 4\sqrt{m-4}}{m-8}$

1. Преобразуем выражения под корнями с помощью введенной замены:

$m + 4\sqrt{m-4} = (y^2+4) + 4y = y^2+4y+4 = (y+2)^2$

$m - 4\sqrt{m-4} = (y^2+4) - 4y = y^2-4y+4 = (y-2)^2$

Также: $\sqrt{m-4}+2 = y+2$ и $\sqrt{m-4}-2 = y-2$.

2. Подставим эти выражения в первую дробь и упростим ее, используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\frac{\sqrt[3]{(y+2)^2} \cdot \sqrt[3]{y+2}}{\sqrt[3]{(y-2)^2} \cdot \sqrt[3]{y-2}} = \frac{\sqrt[3]{(y+2)^2 \cdot (y+2)}}{\sqrt[3]{(y-2)^2 \cdot (y-2)}} = \frac{\sqrt[3]{(y+2)^3}}{\sqrt[3]{(y-2)^3}} = \frac{y+2}{y-2}$

3. Преобразуем вторую дробь с помощью замены:

$\frac{m - 4\sqrt{m-4}}{m-8} = \frac{(y-2)^2}{(y^2+4)-8} = \frac{(y-2)^2}{y^2-4} = \frac{(y-2)^2}{(y-2)(y+2)} = \frac{y-2}{y+2}$

4. Перемножим упрощенные дроби:

$L = \left(\frac{y+2}{y-2}\right) \cdot \left(\frac{y-2}{y+2}\right) = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.