Номер 12.28, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.28. Упростите выражение:

1) $\left( \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} - 1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} - 1}$

2) $\left( \frac{\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} \right) \cdot \left( \sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1 \right)$

3) $\frac{\sqrt[3]{2a + 2\sqrt{a^2 - 1}}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1}}} + \frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}} + 2}$

1) Для упрощения выражения введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходное выражение:
$(\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{y^2-1}) \cdot \frac{y^2+y}{y-1}$
Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $y^2-1 = (y-1)(y+1)$:
$\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y+1)^2 - 4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{y^2+2y+1 - 4y}{y^2-1} = \frac{y^2-2y+1}{y^2-1}$
Числитель является полным квадратом $(y-1)^2$, а знаменатель — разностью квадратов $(y-1)(y+1)$. Сократим дробь:
$\frac{(y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-1}{y+1}$
Теперь упростим второй множитель:
$\frac{y^2+y}{y-1} = \frac{y(y+1)}{y-1}$
Перемножим полученные упрощенные выражения:
$\frac{y-1}{y+1} \cdot \frac{y(y+1)}{y-1}$
Сокращаем одинаковые множители $(y-1)$ и $(y+1)$, в результате чего остается $y$.
Теперь выполним обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$.
Ответ: $\sqrt[6]{x}$

2) Для упрощения введем замены: пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[4]{b}$. Тогда $\sqrt{a} = x^2$ и $\sqrt{b} = y^2$.
Выражение примет вид:
$(\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} - x - y) \cdot (\frac{x}{y}+1)$
Упростим первую скобку. Разложим числитель и знаменатель дроби по формулам разности кубов и разности квадратов:
$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{x^2+xy+y^2}{x+y} - (x+y) = \frac{x^2+xy+y^2 - (x+y)^2}{x+y} = \frac{x^2+xy+y^2 - (x^2+2xy+y^2)}{x+y}$
$= \frac{x^2+xy+y^2-x^2-2xy-y^2}{x+y} = \frac{-xy}{x+y}$
Упростим вторую скобку:
$\frac{x}{y}+1 = \frac{x+y}{y}$
Перемножим результаты:
$\frac{-xy}{x+y} \cdot \frac{x+y}{y}$
Сократим общие множители $(x+y)$ и $y$:
$-x$
Сделаем обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{a}$

3) Рассмотрим знаменатель дроби. Упростим выражение под корнем третьей степени:
$\sqrt{\frac{a-1}{a+1}} + \sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + 2 = \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} + \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} + 2$
Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю $\sqrt{a+1}\sqrt{a-1} = \sqrt{a^2-1}$:
$\frac{(\sqrt{a-1})^2 + (\sqrt{a+1})^2}{\sqrt{a^2-1}} + 2 = \frac{(a-1)+(a+1)}{\sqrt{a^2-1}} + 2 = \frac{2a}{\sqrt{a^2-1}} + 2$
Теперь приведем к общему знаменателю с двойкой:
$\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}$
Теперь подставим это выражение обратно в знаменатель исходной дроби:
$\frac{\sqrt[3]{2a+2\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt[3]{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}}}$
Воспользуемся свойством корня $\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}} = \sqrt[n]{\frac{A}{B}}$:
$\sqrt[3]{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}}}$
Упростим выражение под кубическим корнем, разделив числитель на знаменатель (умножив на перевернутую дробь):
$\sqrt[3]{(2a+2\sqrt{a^2-1}) \cdot \frac{\sqrt{a^2-1}}{2a+2\sqrt{a^2-1}}}$
Сократим одинаковые множители $(2a+2\sqrt{a^2-1})$:
$\sqrt[3]{\sqrt{a^2-1}}$
Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}} = \sqrt[nm]{A}$, получаем:
$\sqrt[6]{a^2-1}$
Ответ: $\sqrt[6]{a^2-1}$