Номер 12.23, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.23. Докажите, что значение выражения является целым числом:

$\frac{1}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[3]{999^2} + \sqrt[3]{999 \cdot 1000} + \sqrt[3]{1000^2}}$

Для доказательства преобразуем каждое слагаемое в сумме. Рассмотрим общий вид слагаемого для натурального числа $k$:

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{k^2} + \sqrt[3]{k(k+1)} + \sqrt[3]{(k+1)^2}} $$

Знаменатель этой дроби является неполным квадратом суммы двух выражений: $\sqrt[3]{k}$ и $\sqrt[3]{k+1}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение $(\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k})$.

$$ \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k})}{(\sqrt[3]{k^2} + \sqrt[3]{k(k+1)} + \sqrt[3]{(k+1)^2}) \cdot (\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k})} = \frac{\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k}}{(\sqrt[3]{k+1})^3 - (\sqrt[3]{k})^3} $$

Упростим знаменатель полученного выражения:

$$ (\sqrt[3]{k+1})^3 - (\sqrt[3]{k})^3 = (k+1) - k = 1 $$

Таким образом, каждое слагаемое исходной суммы можно представить в виде разности:

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{k^2} + \sqrt[3]{k(k+1)} + \sqrt[3]{(k+1)^2}} = \sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k} $$

Теперь представим всё исходное выражение как сумму таких разностей (так называемую телескопическую сумму), где $k$ пробегает значения от 1 до 999.

$$ S = (\sqrt[3]{1+1} - \sqrt[3]{1}) + (\sqrt[3]{2+1} - \sqrt[3]{2}) + \dots + (\sqrt[3]{999+1} - \sqrt[3]{999}) $$

$$ S = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1}) + (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) + (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}) + \dots + (\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999}) $$

При сложении все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $\sqrt[3]{2}$ и $-\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $-\sqrt[3]{3}$, и так далее, до $\sqrt[3]{999}$ и $-\sqrt[3]{999}$. В результате остаются только первый и последний члены:

$$ S = \sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{1} $$

Вычислим полученное значение:

$$ S = 10 - 1 = 9 $$

Значение выражения равно 9, что является целым числом. Утверждение доказано.

Ответ: 9.