Номер 12.16, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.16. При каких значениях $x$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2};$

2) $\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x}?$

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x-2} \cdot \sqrt[4]{x+2}$

Данное равенство основано на свойстве корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Поскольку корень четной степени (в данном случае 4-й степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, равенство будет выполняться только в том случае, когда выражения под каждым знаком корня в правой части уравнения неотрицательны. Это также гарантирует, что и подкоренное выражение в левой части ($x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$) будет неотрицательным.

Таким образом, необходимо найти значения $x$, для которых одновременно выполняются следующие условия:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Общим решением системы является пересечение этих двух условий, что соответствует $x \ge 2$.

Следовательно, равенство выполняется при $x \in [2, +\infty)$.

Ответ: $x \ge 2$.

2) $\sqrt[8]{(x-3)(7-x)} = \sqrt[8]{x-3} \cdot \sqrt[8]{7-x}$

Аналогично первому пункту, равенство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для корня четной степени (в данном случае 8-й степени) справедливо только тогда, когда оба множителя под корнями в правой части неотрицательны.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$

2. $7 - x \ge 0 \implies 7 \ge x \implies x \le 7$

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $3 \le x \le 7$.

При этих значениях $x$ подкоренное выражение в левой части, $(x-3)(7-x)$, также будет неотрицательным, так как является произведением двух неотрицательных множителей. Следовательно, левая часть определена, и равенство выполняется.

Ответ: $3 \le x \le 7$.