Номер 12.13, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.13. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$;

2) $\sqrt[4]{(a-2)^4} = (\sqrt[4]{a-2})^4$;

3) $\sqrt[6]{a(a-1)} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{(1-a)}$;

4) $\sqrt[12]{a-2\sqrt[12]{3-a}} = \sqrt[12]{(2-a)(a-3)}$?

1) Равенство $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$.

Рассмотрим области определения левой и правой частей.
Левая часть $\sqrt[3]{(a-5)^4}$ определена для всех действительных чисел $a$, так как корень нечетной степени (кубический) извлекается из любого действительного числа, а выражение $(a-5)^4$ всегда неотрицательно.
Правая часть $(\sqrt[3]{a-5})^4$ также определена для всех действительных чисел $a$, так как выражение под корнем нечетной степени $a-5$ может быть любым действительным числом.
Тождество $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ выполняется для всех $x$, для которых определена правая часть. Поскольку для нечетного $n=3$ правая часть определена для любого действительного $a$, то равенство выполняется для всех действительных значений $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

2) Равенство $\sqrt[4]{(a-2)^4} = (\sqrt[4]{a-2})^4$.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $\sqrt[4]{(a-2)^4}$. По свойству корня четной степени $\sqrt[n]{x^n}=|x|$ для четного $n$, имеем $\sqrt[4]{(a-2)^4} = |a-2|$. Это выражение определено для любого действительного $a$.
Рассмотрим правую часть (ПЧ): $(\sqrt[4]{a-2})^4$. Это выражение определено только в том случае, если выражение под корнем четной степени неотрицательно, то есть $a-2 \ge 0$, откуда $a \ge 2$. При этом условии $(\sqrt[4]{a-2})^4 = a-2$.
Исходное равенство принимает вид $|a-2| = a-2$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $a-2 \ge 0$, что означает $a \ge 2$. Это условие совпадает с областью определения правой части.
Ответ: $a \in [2; +\infty)$.

3) Равенство $\sqrt[6]{a(a-1)} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{1-a}$.

Найдем область определения для каждой части равенства.
Для левой части $\sqrt[6]{a(a-1)}$ должно выполняться условие $a(a-1) \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $a \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.
Для правой части $\sqrt[6]{a}\sqrt[6]{1-a}$ должны одновременно выполняться два условия: $a \ge 0$ и $1-a \ge 0$. Решая систему, получаем $a \ge 0$ и $a \le 1$, то есть $a \in [0; 1]$.
Равенство может выполняться только для тех значений $a$, которые принадлежат пересечению областей определения обеих частей. Пересечением множеств $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$ и $[0; 1]$ являются только две точки: $a=0$ и $a=1$.
Проверим эти значения:
При $a=0$: $\sqrt[6]{0(0-1)} = 0$ и $\sqrt[6]{0}\sqrt[6]{1-0} = 0 \cdot 1 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
При $a=1$: $\sqrt[6]{1(1-1)} = 0$ и $\sqrt[6]{1}\sqrt[6]{1-1} = 1 \cdot 0 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Следовательно, равенство выполняется только при $a=0$ и $a=1$.
Ответ: $a \in \{0, 1\}$.

4) Равенство $\sqrt[12]{a-2}\sqrt[12]{3-a} = \sqrt[12]{(2-a)(a-3)}$.

Найдем область определения для каждой части равенства.
Для левой части $\sqrt[12]{a-2}\sqrt[12]{3-a}$ должны одновременно выполняться условия $a-2 \ge 0$ и $3-a \ge 0$. Отсюда $a \ge 2$ и $a \le 3$, то есть $a \in [2; 3]$. На этой области левую часть можно записать как $\sqrt[12]{(a-2)(3-a)}$.
Для правой части $\sqrt[12]{(2-a)(a-3)}$ должно выполняться условие $(2-a)(a-3) \ge 0$. Это неравенство равносильно неравенству $(a-2)(a-3) \le 0$, решением которого является отрезок $a \in [2; 3]$.
Области определения обеих частей совпадают: $a \in [2; 3]$.
Теперь преобразуем выражение под корнем в правой части: $(2-a)(a-3) = -(a-2) \cdot (-(3-a)) = (a-2)(3-a)$.
Таким образом, на общей области определения $a \in [2; 3]$ равенство принимает вид $\sqrt[12]{(a-2)(3-a)} = \sqrt[12]{(a-2)(3-a)}$, что является тождеством.
Следовательно, равенство выполняется для всех $a$ из области определения.
Ответ: $a \in [2; 3]$.