Номер 12.7, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.7. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$; 2) $\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}}$; 3) $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$; 4) $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$.

1)

Для упрощения данного выражения внесем множитель 3, стоящий перед внутренним корнем, под знак этого корня. Чтобы внести множитель под корень n-ой степени, его необходимо возвести в n-ую степень.

$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}}$

Выполним вычисления под внутренним корнем:

$3^3 \cdot 2 = 27 \cdot 2 = 54$

Теперь выражение принимает вид:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{54}}$

Воспользуемся свойством вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.

$\sqrt[3 \cdot 3]{54} = \sqrt[9]{54}$

Ответ: $\sqrt[9]{54}$.

2)

Для упрощения выражения $\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}}$ (при $b \ge 0$) внесем множитель $b$ под знак внутреннего корня шестой степени.

$\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^6 \cdot b}}$

Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели у $b$ под внутренним корнем:

$\sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{6+1}}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^7}}$

Используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[5 \cdot 6]{b^7} = \sqrt[30]{b^7}$

Ответ: $\sqrt[30]{b^7}$.

3)

Упростим выражение $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$ (при $x \ge 0$), внеся множитель $x^3$ под знак кубического корня.

$\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{(x^3)^3 \cdot x^7}}$

Упростим выражение под внутренним корнем, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{3 \cdot 3} \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^9 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{9+7}}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}}$

Применим свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[8 \cdot 3]{x^{16}} = \sqrt[24]{x^{16}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 8. Это эквивалентно переходу к степеням с дробными показателями: $x^{16/24} = x^{2/3}$.

$\sqrt[24 \div 8]{x^{16 \div 8}} = \sqrt[3]{x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$.

4)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$ с несколькими вложенными корнями удобно перейти к степеням с дробными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$, и работать с выражением изнутри наружу.

Сначала преобразуем самое внутреннее выражение: $2\sqrt{2}$.

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2}$

Теперь подставим это в более крупный фрагмент выражения, $\sqrt{2\sqrt{2}}$:

$\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{2^{3/2}} = (2^{3/2})^{1/2} = 2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 2^{3/4}$

Наконец, подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}} = \sqrt[3]{2 \cdot (2^{3/4})} = (2^1 \cdot 2^{3/4})^{1/3}$

Сложим показатели степеней в скобках:

$(2^{1 + 3/4})^{1/3} = (2^{4/4 + 3/4})^{1/3} = (2^{7/4})^{1/3}$

Перемножим показатели степеней:

$2^{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{7/12}$

Запишем результат в виде корня:

$2^{7/12} = \sqrt[12]{2^7}$

Так как $2^7=128$, выражение также можно записать как $\sqrt[12]{128}$.

Ответ: $\sqrt[12]{2^7}$.